Критическое напряжение и гибкость стержня

Определение. Критическим напряжением σкр называется напряжение в стержне, вызванное силой Pкр:

 

σкр = Pкр/F = (p2EJmin)/ F(ml)2 = (p2E )/(ml)2,

 

где = Jmin/F , а = – минимальный радиус инерции сечения стержня.

Обозначим, следуя Ф. Ясинскому, через λ = ml/imin гибкость стержня – безразмерную величину, определяемую:

- длиной стержня и способом закрепления его концов,

- формой и размерами поперечного сечения.

Тогда видоизмененная формула Эйлера примет вид:

 

σкр =p2E/λ2, (11.7)

 

то есть график зависимости σкр(λ) представляет собой гиперболу (рис. 11.8).

λпр
λ0
σпц
λ
σт
σкр = (p2Е)/λ2
σкр
рис. 11.8

 

Формально из (11.7) следует, что σкр = ∞, однако вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения изогнутой оси стержня, материал которого следует закону Гука. Поэтому эта формула верна только при постоянном модуле упругости E, то есть при условии, что критическое напряжение σкр не превышает предела пропорциональности σпц.

Предельная гибкость стержня, отвечающая условию σкр = σпц в силу (11.7) будет равна:

λпр = p ,

 

при этом λпр зависит только от механических свойств материала и является константой.

Приведем взятые из [11] значения гибкости стержня некоторых материалов:

- сталь Ст3 (σпц = 195 МПа, E = 206 ГПа), λпр = 3,14 = 102,

 

- древесина сосны (σпц = 20 МПа, E = 10 ГПа), λпр = 70.

 

Таким образом, формула Эйлера применима только к упругим стержням, и ее распространение на стержни, теряющие устойчивость за пределом упругости (σпц), неверно, поскольку приводит к завышенным значениям σкр иводит к завышенным значениям σкр и Pкр. Поэтому соответствующая часть графика σкр(λ), выделенная пунктиром, не реализуется.

При потере устойчивости за пределом упругости критические напряжения определяются по более сложным законам или по эмпирическим зависимостям, при этом реальная кривая σкр(λ) будет проходить между линиями 1 и 2 на этом графике. В простейшем варианте эту кривую можно аппроксимировать отрезком прямой, как это сделано в формуле Тетмайера – Ясинского:

 

σкр(λ) = a - bλ, (11.8)

 

где коэффициенты a и b определяются по экспериментальным данным.

При этом для стали Ст3 a = 305 МПа, b = 1,12 МПа; для древесины сосны a = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Полученные на основе (11.8) результаты также представляют интерес только до некоторого значения λ0, при котором критические напряжения достигают опасных напряжений сжатия: пределу текучести σт – для пластичных или пределу прочности σпч – для хрупких материалов.

Для стали Ст3, например λ0 =30 – 40, поэтому эта часть графика, соответствующая зависимости (11.8), также заменена отрезком σкр(λ) = σт.

Таким образом, сжатые стержни делятся на три категории:

- стержни большой гибкости (λ > λпр) , для которых σкр находят по формуле Эйлера;

- стержни средней гибкости (λ0 <λ< λпр), которые рассчитывают по формуле Тетмайера – Ясинского;

- стержни малой гибкости (λ< λ0), для которых опасна потеря не устойчивости, а прочности – для них σкр = σт или σкр = σпч.