Экспоненциальное распределение

⇐ Назад

Как было отмечено выше (см. п. 3.3.1.1), экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы реализуется в случае простейшего потока отказов, когда рассматривается вероятность непоявления отказов. Это распределение однопараметрическое, то есть закон распределения случайной величины зависит только от одного параметра λ = const .

Показатели безотказности для экспоненциального распределения определяются так:

вероятность безотказной работы

, (3.47)

вероятностьотказа

,(3.48)

плотностьвероятности отказа

,(3.49)

интенсивность отказа

,(3.50)

среднее время безотказной работы

.(3.51)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т₁ (или постоянную интенсивность отказов λ ), можно в случае экспоненциального распределения вычислить любой показатель безотказности.

Отметим, что вероятность безотказной работы на интервале, превышающем среднее время Т₁, при экспоненциальном распределении будет менее 0,368:

Р(Т₁) =e^-1= 0,368 ( см. рис. 3.6).

Рис. 3.6 График экспоненциального распределения

Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т₁, то есть интервал времени, на котором допустимо использование экспоненциальной модели, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели. Это легко обосновать, воспользовавшись значением дисперсии времени безотказной работы, которое [3.1, 3.2, 3.3].

для случайной величины t равно:

. (3.52)

После некоторых преобразований получим:

. (3.53)

Таким образом, наиболее вероятные значения наработки, группирующиеся в окрестности Т₁, лежат в диапазоне , то есть от t = 0 до t = 2Т₁.

Видно, что объект может отработать и малый отрезок времени и время t=2Т₁, сохранив λ=const. Но вероятность безотказной работы на интервале 2Т₁крайне низка:

Важно отметить, что если объект отработал, предположим, время t без отказа, сохранив λ = соnst, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким, как в момент первого включения при t =0 .

Другие распределения не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: поскольку за все время t устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону. Однако это не так, поскольку, как только что показано, можно использовать экспоненциальное распределение только на отрезке времени работы, меньшем чем Т_1.

Нормальное распределение

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.54)

где m_x, σ_x – соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для его использования нужно знать m_x и σ_x.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.55)

а интенсивность отказов - по формуле

где m_t σ_t – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени жизни объекта.

При нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -∞ до +∞. Поэтому использовать выражения (3.17),(3.18) можно только для случая m_t/ σ_t>=2.5, когда вероятность появления отрицательных значений практически равна 0 (характерно для элементов систем автоматического управления [3.3]). На рис. 3.7 изображены кривые λ (t), Р(t) и f (t).

Рис. 3.7. Кривые нормального распределения

Если значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения времени безотказной работы таковы, что m_t/σ_t< 2.5 , ее распределение может быть лишь усечённым нормальным.

Для усеченного на интервале (t₁,t₂)распределения нормирующий множитель

(3.56)

условно принимается равным единице, если отношение средней наработки до отказа к среднему квадратическому отклонению наработки до отказа больше 2,5.

Показатели надежности при нормальном распределении вычисляется с помощью нормированной функции Лапласа (интеграл Гаусса- Лапласа)

, (3.57)

где u = (t- m_t )/ σ_t

Известно, что интеграл Гаусса- Лаплас – нечетная функция [3.1, 3.2, 3.3].

Тогда получим формулы для вычисления:

вероятности отказа

Q (t) = 0,5 + Φ(u),(3.58)

вероятности безотказной работы

P(t) = 0.5 - Φ(u). (3.59)

Можно пользоваться нормальным законом распределения при анализе надежности элементов, подверженных процессам старения или износа.

Гамма - распределение

Гамма-распределение наработки на отказ получается (см. п. 3.1.1.2) при использовании потоков Эрланга к-го порядка. На практике это соответствует применению резервированного соединения кратности к-1 (см. п. 4.2). Отказ системы наступает только, если количество отказов элементов превысит к-1. Дадим выражения для расчета вероятности отказа:

. (3.60)

Марковские процессы

При решении задач анализа надежности сложных систем, имеющих множество состояний работоспособности, удобно использовать модель случайного процесса, дискретного по состояниям и непрерывного во времени, и определять вероятности нахождения системы в том или ином состоянии. В общем случае число таких состояний больше или равно двум (для простой системы).

Обозначим:

S(t) =i – состояние системы в момент времени t равно i (0 ,

n – общее количество возможных состояний системы,

Δt ,

P_ij(t+Δt) – условная вероятность перехода системы из состояния S(t)=i в момент времени t в состояние S(t +Δt) = j (0 в момент времени t+Δt,

λ_ij – интенсивности перехода системы из состояния S(t) = i в момент времени t в состояние S(t +Δt) = j (0 в момент времени t+Δt.

Если вероятности перехода P_ij (t+ Δt) не зависят от поведения системы до момента времени t, то такой процесс называется марковским.

Если вероятности перехода P_ij(t+Δt)= P_ij(Δt) = λ_ijΔt не зависят от t, то такой процесс называется марковским однородным процессом.

Для такого процесса время пребывания системы в состоянии S(t) =i (0 подчиняется экспоненциальному распределению (см. п. 3.3.1).

Предполагается, что интенсивности переходов удовлетворяют условиям:

= (3.61)

где - интенсивность сохранения состояния i (0 .

Вероятности (0 - пребывания системы в i состоянии определяются системой дифференциальных уравнений следующего вида:

- начальные условия, (3.62)

Система дифференциальных уравнений (3.62) называется уравнениями Колмагорова [3.5].

Будем использовать модель марковских однородных процессов для определения показателей надежности восстанавливаемых и резервированных систем .

–––––––––––––––––––––––––––––––––

3.1. Гнеденко Б.В. Математические основы теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. М.: Наука, 1966.

3.2. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности: учебник для вузов / Т.А. Голинкевич. М.: Высшая школа, 1977.

3.3. Ястребенецкий М.А. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами / М.А. Ястребенецкий, Г.М. Иванова. М.: Энергоатомиздат, 1989

3.4. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем. / К.А. Иыуду. М.: Высшая школа, 1989.

3.5. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем / Г.В. Дружинин. М.: Энергоатомиздат, 1986.

⇐ Назад