Спектр дискретного сигнала. Восстановление сигналов по дискретным отсчетам. Элайcинг (aliacing)

Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.

Дискретизация сигналов может приводить к определенной потере информации о поведении сигналов в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова-Шеннона, согласно которым аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал, и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов.

Как известно [], любая непрерывная функция может быть разложена на конечном отрезке в ряд Фурье, т.е. представлена в спектральной форме - в виде суммы ряда синусоид с кратными (нумерованными) частотами с определенными амплитудами и фазами. У относительно гладких функций спектр быстро убывает (коэффициенты модуля спектра быстро стремятся к нулю). Для представления "изрезанных" функций, с разрывами и "изломами", нужны синусоиды с большими частотами. Говорят, что сигнал имеет ограниченный спектр, если после определенной частоты F все коэффициенты спектра равны нулю, т.е. сигнал представляется в виде конечной суммы ряда Фурье.

Теоремой Котельникова-Шеннона устанавливается, что если спектр сигнала ограничен частотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно выполнить интерполяцию цифрового сигнала "между отсчетами" специальной функцией (Котельникова-Шеннона)[3]. Решение задачи восстановления сигнала по дискретным отсчетам, т.е. интерполяции дискретного сигнала непрерывной функцией, позволяет получить разложение в ряд Шеннона-Котельникова в явной форме. Задача восстановления в частотной и временной области соответственно имеет вид [3]:

, где Ф(f) – спектр непрерывного сигнала,

Раскрывая операцию дискретной свертки, имеем:

Базисные функции разложения по Шеннону-Котельникову представляют собой наиболее известный случай, когда разложение/восстановление сигнала ведется не с помощью кусочно-постоянных, кусочно-линейных или гармонических функций. За пределами нескольких периодов дискретизации базисные функции можно считать нулевыми, и базис, соответственно, практически конечным, т.е. имеющим тенденцию к локализации [4].

Теоретическая возможность восстановления сигнала всего по двум отсчетам на период дискретизации без погрешности объясняется, с позиции вейвлет-преобразования, как следствие более высокой корреляции функций с интерполируемым сигналом, чем это наблюдается у перечисленных выше функций. В силу этих свойств базисные функции Шеннона-Котельникова относят к числу вейвлет-функций (п.1.2.3.).

Однако для практического применения и построения устройств обработки сигнала, основанных на данном принципе, является препятствием необходимость получения полной информации о сигнале.

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что диапазон звуковых сигналов, воспринимаемых человеком, не превышает 20 кГц. Следовательно, при дискретизации записанных звуковых сигналов с частотой не менее 40 кГц мы можем точно восстановить исходный аналоговый сигнал по его цифровым отсчетам, что и выполняется в проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука. Частота дискретизации звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц.

Это явление можно наблюдать, если спектр аналогового сигнала был неограниченным или имел частоту, выше частоты дискретизации.

Рис. 4.1 Появление кажущейся частоты при дискретизации.

Для предотвращения элайсинга следует повышать частоту дискретизации или ограничить спектр сигнала перед оцифровкой фильтрами низких частот (НЧ-фильтры, low-pass filters), которые пропускают без изменения все частоты, ниже заданной, и подавляют в сигнале частоты, выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза (cutoff frequency) фильтра. Частота среза анти-элайсинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискретизации. В реальные АЦП почти всегда встраивается анти-алиасинговый фильтр.