Обработка результатов измерений

1. Вычислить сопротивление R по формуле (4.4).

2. Вычислить удельное сопротивление r по формуле (4.6).

3. Построить график зависимости R = f(l).

4. Определить погрешность измерения длины проводника.

5. Определить погрешность измерения диаметра проводника.

6. Найти на шкалах вольтметра и миллиамперметра классы точности этих приборов и вычислить абсолютную погрешность измерения величин силы тока и напряжения.

7. Определить минимальную и максимальную относительную и абсолютную погрешности удельного сопротивления.

9. Результаты измерений для каждого значения длины проводника представить в виде:

Контрольные вопросы

1. Объяснить механизм проводимости металлов.

2. Что такое удельное электрическое сопротивление и от чего оно зависит?

3. Что называется электрической проводимостью?

4. Сформулируйте закон Ома в дифференциальной форме; выведите этот закон.

5. Сформулируйте закон Ома для неоднородного участка цепи.

Используемая литература

[1] §§ 18.1, 19.1;

[2] §§ 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5, 13.6, 13.7;

[3] §§ 2.28, 2.30, 2.31;

[4] т.2, §§ 31, 34, 35;

[5] §§ 96, 97, 98, 100, 101, 103.

Лабораторная работа 2-05

Изучение температурной зависимости сопротивления металлов и полупроводников

Цель работы:Измерение зависимости электрического сопротивления металлического и полупроводникового образцов от температуры; определение температурного коэффициента сопротивления металла и ширины запрещенной зоны полупроводника.

Теоретическое введение

В зависимости от способности проводить электрический ток твердые тела делят на изоляторы (диэлектрики), полупроводники и проводники. Будет ли твердое тело металлом или диэлектриком, зависит не только и даже не столько от свойств атомов, сколько от типа связей, объединяющих атомы в кристаллическую решетку твердого тела. Например, атомы одного и того же вещества – углерода – в зависимости от того, в какую кристаллическую решетку твердого тела они соединились, могут образовать и очень хороший проводник (графит), и прекрасный изолятор (алмаз).

При образовании металлических кристаллов атомы, объединяясь в кристалл, теряют свои валентные электроны, и кристаллическую решётку образуют уже положительно заряженные ионы. При этом электроны не принадлежат никакому конкретному иону, они обобществлены кристаллом и могут свободно передвигаться под действием внешнего электрического поля. Это – свободные носители заряда, или электроны проводимости. Их концентрацию n можно вычислить следующим образом:

, (5.1)

где D_m– плотность металла; N_А – число Авогадро; μ и V_м – молярные масса и объем металла; z - число валентных электронов, которые отдал каждый атом в "коллектив" электронов проводимости (например, для меди и серебра z=1, для цинка и магния z=2, для платины z=4). Концентрация электронов проводимости в металлах очень велика (обычно 10²⁸÷10²⁹м^-3), поэтому металлы являются превосходными проводниками.

Иначе обстоит дело в диэлектриках и полупроводниках. В этих кристаллах каждый атом связан с ближайшими соседями прочными электронными связями. Чтобы разорвать эти связи и создать свободные электроны, способные переносить электрический ток, необходимо затратить энергию. Величина этой энергии в неметаллическом кристалле обозначается символом e_g. Она является важнейшей характеристикой кристалла. Значение e_gзависит от структуры кристалла, от свойств атомов, образующих кристалл, и у различных материалов лежит в пределах от нуля до нескольких десятков электрон-вольт. В обычных житейских масштабах энергия, равная 1эВ=1.6×10^-¹⁹ Дж, ничтожна. Но в мире атомов и электронов эта величина выглядит очень солидно. Так, средняя энергия тепловых колебаний частицы при комнатной температуре равняется всего kT=0.026 эВ (k=1.38^.10^{-23 Дж}/_К– постоянная Больцмана). Энергия фотона красного света равна ~1.8 эВ. Кинетической энергии электрона в 1 эВ соответствует его скорость ~6^.10⁵ ^м/_с.

Если значение e_g велико, то нагревание до очень высоких температур не создает в кристалле заметного числа свободных электронов. Кристалл может даже раньше расплавиться, прежде чем в нем появятся свободные электроны. Такие кристаллы с большими значениями e_g являются типичными диэлектриками.

В простых металлах реализуется ситуация, когда валентные электроны свободны даже при абсолютном нуле температуры, поэтому концентрация электронов практически не зависит от температуры.

В кристалле с небольшим значением e_g нагревание даже до не слишком высокой температуры приведет к разрыву значительного числа электронных связей и появлению свободных электронов. Кристалл приобретёт способность проводить электрический ток. Концентрация свободных электронов, пропорциональная числу разорванных связей, будет резко расти с увеличением температуры. Такие кристаллы относятся к классу полупроводников, т.е. неметаллических материалов с относительно небольшой величиной энергии e_g. Значения e_g для типичных полупроводников лежат в пределах от нескольких десятых долей электрон-вольта до двух-трех электрон-вольт. В таблице 5.1 приведены значения e_g для некоторых кристаллов.

Таблица 5.1.

Название кристалла	Антимонид индия	Германий	Кремний	Арсенид галлия	Фосфид галлия
Формула кристалла	InSb	Ge	Si	GaAs	GaP
e_g, эВ	0.17	0.72	1.1	1.4	2.3

Зонная теория твердых тел.

Рис. 5.1

Различие электрических свойств металлов, диэлектриков и полупроводников может быть наглядно истолковано на языке энергетических диаграмм в рамках так называемой зонной теории, развитой на основе квантовой механики. Выполним мысленно следующий эксперимент. Возьмем N атомов некоторого вещества и расположим их в пространстве на достаточно большом расстоянии друг от друга так, чтобы их размещение воспроизводило структуру кристалла этого вещества. Расстояния между атомами велики, и можно пренебречь их взаимодействием. Электроны в отдельных атомах могут занимать только вполне определенные электрические уровни. Пока атомы находятся на больших расстояниях друг от друга, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. По мере сближения атомов до расстояний, равных межатомным расстояниям в твердых телах, все усиливающееся взаимодействие между атомами приводит к расщеплению уровней и расширению их в полосы (или зоны) разрешенных для электронов энергией. Расщепление объясняется запретом Паули, согласно которому на одном энергетическом уровне не может находиться более двух электронов, причем их собственные моменты импульса (спины) должны иметь противоположные направления.Таким образом,в кристалле, объединяющем N одинаковых атомов с одинаковым набором энергетических уровней у изолированных атомов, электроны уже не могут находиться в одинаковых состояниях, и каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N различных, уровней, на которых могут разместиться все электроны. Схема образования энергетических зон кристалла из дискретных энергетических уровней отдельных атомов при их сближении показана на рис. 5.1.

При этом окончательный энергетический спектр в образовавшемся кристалле будет определяться равновесным межатомным расстоянием r₀, характерным для данного кристалла. Расщепление уровней в зоны происходит независимо от того, имеются ли на соответствующих атомных уровнях электроны или эти уровни пусты. В последнем случае расщепление уровней отражает расширение диапазона возможных энергий, которые может приобрести электрон в кристалле. Естественно, что наибольшее расщепление имеют энергетические уровни внешних, валентных электронов и уровни, соответствующие возбужденным состояниям электронов в атомах. Валентной зоной называется зона, получившаяся при расщеплении наивысшего занятого электронами уровня свободного атома в основном состоянии.

В образовавшемся зонном энергетическом спектре зоны разрешенных для атомов энергий разделены запрещенными промежутками, которые называются запрещенными зонами. Каждая из разрешенных зон содержит N дискретных, близко расположенных уровней, – столько, сколько атомов содержит кристалл, то есть очень много. Расстояние между отдельными уровнями в зоне (~10^-²²эВ) сравнимо с естественной шириной энергетических уровней и столь ничтожно, что можно считать энергию электронов в зоне изменяющейся практически непрерывно. Однако надо помнить, что число энергетических состояний в зоне все равно конечно из-за принципа Паули.

Сами факты дискретности уровней и конечного числа уровней в зонах играют принципиальную роль, т.к. в зависимости от заполнения зон электронами твердые тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Рис. 5.2

Заполнение электронами энергетических уровней в зонах осуществляется в соответствии с принципом Паули. Возможны несколько вариантов расположения и заполнения зон (рис. 5.2). Если верхняя содержащая электроны зона заполнена частично или полностью заполненная электронами зона перекрывается по энергии со свободной зоной, то твердое тело будет хорошим проводником (рис. 5.2, а, б). В этом случае под действием внешнего электрического поля электроны смогут легко перемещаться по свободным энергетическим уровням зоны.

Если же полностью заполненная электронами зона отделена запрещенной зоной от зоны, не содержащей электронов (эта зона называется зоной проводимости), то твердое тело будет диэлектриком или полупроводником в зависимости от ширины запрещенной зоны e_g (рис. 5.2, в, г). В этом случае при температуре абсолютного нуля свободных носителей заряда нет. Чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии не меньше, чем ширина запрещенной зоны e_g. Если значение e_g невелико, то энергии теплового движения оказывается достаточно, чтобы перевести часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. При этом возникает сразу две частично заполненные зоны. В зоне проводимости электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны в металле. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на освободившиеся в ней верхние уровни. Таким образом, электроны обеих зон смогут дать свой вклад в электропроводность кристалла. Такой кристалл является полупроводником (рис. 5.2, г). Для полупроводников e_g имеет значения порядка 0.1÷1 эВ.

Если же ширина запрещенной зоны e_g велика, то тепловое движение не сможет забросить в зону проводимости сколько-нибудь заметное число электронов. Такой кристалл будет диэлектриком (рис. 15.2, в). У диэлектриков e_g порядка 3÷6 эВ. Это достаточно большая величина, так что при температурах, сравнимых с комнатной, свободных носителей тока в диэлектрике практически нет.

Электропроводимость твердых тел.

Рассмотрим процессы, определяющие силу тока I в кристалле при действии электрического поля напряженностью E. Подвижные электроны ускоряются электрической силой и приобретают добавочную к хаотическому тепловому движению скорость v, так называемую дрейфовую скорость, направленную вдоль поля. Эта скорость конечна по величине, т.к. электроны в своем движении сталкиваются с дефектами и тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Если бы столкновений не было, то действие постоянной электрической силы вело бы к неуклонному возрастанию скорости до бесконечности. Дрейфу электронов со скоростью vотвечает плотность электрического тока

, (5.2)

где n - концентрация электронов.

При не слишком сильных полях дрейфовая скорость электронов пропорциональна напряженности поля :

. (5.3)

Коэффициент u_n называется подвижностью электронов. Он численно равен скорости, приобретаемой электронами в поле с единичной напряженностью, например, 1 В/м. Подставим (5.3) в (5.2):

, (5.4)

g=enu_n. (5.5)

Здесь g – удельная электропроводность кристалла, а соотношение (5.4) выражает закон Ома в дифференциальной форме. Величина, обратная электропроводности, есть удельное сопротивление кристалла:

. (5.6)

Для однородного проводника длины l и поперечного сечения S полное электрическое сопротивление равно

. (5.7)

У металлов и полупроводников наблюдаются принципиально различные зависимости их электрического сопротивления от температуры. Действительно, удельное сопротивление вещества определяется концентрацией n и подвижностью носителей заряда u_n (5.6).

Металлы.

В квантовой теории металлов движение электрона проводимости сквозь металл рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля. Идеально правильная кристаллическая решетка, в узлах которой находятся неподвижные ионы, не должна рассеивать электронные волны. Электроны проводимости должны были бы проходить сквозь такую решетку свободно, без рассеяния в узлах. Такая решетка не оказывает сопротивления электрическому току. Рассеяние электронных волн и связанное с ним сопротивление проводника возникают, если в кристаллической решётке существуют центры рассеяния – искажения правильности решётки, размеры которых превосходят длину волны де Бройля. Центрами рассеяния являются главным образом флуктуации плотности, возникающие в результате тепловых колебаний узлов решётки. Рассеяние волн де Бройля на флуктуациях плотности является причиной электрического сопротивления чистых металлов.

Рассеяние волн де Бройля происходит также на дефектах кристаллической решётки и на атомах примеси. Именно поэтому сопротивление сплавов больше, чем чистых металлов.

В металлах концентрация свободных электронов практически не зависит от температуры (5.1), а подвижность электронов изменяется обратно пропорционально температуре (u_n~ ), поскольку с повышением температуры из-за возрастания тепловых колебаний ионов увеличиваются неоднородности кристаллической решётки, на которых рассеиваются электронные волны де Бройля. Из (5.6)r_М~ ~Т, то есть удельное сопротивление r_м прямо пропорционально абсолютной температуре T. Таким образом, электрическое сопротивление металла увеличивается с ростом температуры, так как увеличивается рассеяние электронных волн де Бройля на неоднородностях кристаллической решетки в результате возрастания тепловых колебаниях ионов.Опыт показывает, что для не слишком широкого интервала температур (исключая очень низкие) зависимость r_м(Т) близка к линейной:

r_м=r₀(1+a×t), (5.8)

где t – температура металла в градусах Цельсия; r₀– удельное сопротивление при 0°С; a – температурный коэффициент сопротивления. Естественно, что также зависит от температуры и полное сопротивление любого металлического образца, если он весь находится при температуре t (5.7):

R_м=R₀(1+a^.t). (5.8)

По экспериментальной зависимости R_м(t) можно определить a – температурный коэффициент сопротивления:

. (5.9)

Температурный коэффициент сопротивления численно равен относительному изменению сопротивления при повышении температуры на один градус (от 0⁰С до 1⁰С).

Полупроводники

Определим концентрацию носителей заряда в полупроводнике. Электроны в зоне проводимости и свободные места в валентной зоне возникают в полупроводнике за счет теплового движения решетки кристалла. Вероятность передачи атому энергии e_g от тепловых колебаний кристаллической решётки пропорциональна . Скорость образования свободных мест в валентной зоне также пропорциональна этой величине. Свободные места называют "дырками". Это, по сути дела, есть разорванные электронные связи между атомами кристалла. Покинутый электроном атом перестает быть нейтральным, на нем возникает избыточный положительный заряд (+e). Этот заряд приписывается разорванной валентной связи или свободному месту в валентной зоне, то есть введенной фиктивной частице (квазичастице) – дырке. Под действием электрического поля на свободное место в атоме может перейти один из связанных электронов соседних атомов. Эта связь восстановится, но одновременно образуется новая разорванная связь (дырка) в соседнем атоме. То есть движение всей совокупности электронов в почти заполненной валентной зоне полупроводника можно заменить движением пустых мест или квазичастиц – дырок. Электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне возникают парами, то есть концентрация электронов n равна концентрации дырок: p=n. Скорость их генерации равна

, (5.10)

где a – коэффициент, различный для разных полупроводников.

Одновременно с генерацией электронно-дырочных пар идет обратный процесс – рекомбинация. При встрече электрон и дырка исчезают, то есть рекомбинируют, восстанавливается разорванная валентная связь, исчезает пустое место в валентной зоне. Скорость рекомбинации r должна быть пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок, и так как n=p , то

r=b×n×p=b×n²=b×p². (5.11)

В состоянии равновесия g=r, тогда

= b n² = b p² ,

а равновесная концентрация

, (5.12)

или:

, (5.13)

где n₀ и p₀ – концентрации, соответствующие условию T ®¥.

Чистые (беспримесные) полупроводники, в которых равновесные носители заряда возникают за счет переходов электронов из валентной зоны в зону проводимости, называются собственными. Соответственно, для концентрации и проводимости таких полупроводников имеем названия собственная концентрация и собственная проводимость. При этом собственная проводимость обусловлена направленным движением электронов и дырок во внешнем электрическом поле.

В собственном полупроводнике полный ток складывается из тока электронов и тока дырок, концентрации которых одинаковы (n=p):

(5.14)
Подвижности электронов и дырок зависят от температуры, но эти слабые зависимости маскируются более сильной температурной зависимостью концентрации носителей (5.13). Поэтому для полупроводника можно записать удельную электропроводимость g_п/пр, удельное сопротивление r_п/прр и сопротивление R_п/пр следующим образом:

(5.15)

(5.16)

(5.17)

Здесь температура Т в градусах Кельвина; g₀, r₀ и R₀ - значения параметров, полученные при экстраполяции температуры Т®¥. Таким образом, сопротивление полупроводников очень сильно (экспоненциально) зависит от температуры: с ростом температуры резко возрастает концентрация свободных носителей тока – электронов и дырок – при переходе электронов из валентной зоны в зону проводимости за счет энергии теплового движения, поэтому сопротивление полупроводника уменьшается.

Зависимости (5.15), (5.16) и (5.17), построенные в координатах lng_пр=f(¹/_T), lnr_пр=f(¹/_T) и lnR_пр=f(¹/_T), являются прямыми (рис.5.3).

По угловому коэффициенту этих прямых можно определить ширину запрещенной зоны (энергию активации e_g) полупроводника. Например, для уравнения (5.17) имеем:

, (5.18)

откуда получим:

. (5.19)

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: исследуемые образцы (металл, полупроводник), термопара, микроамперметр, цифровой омметр (Щ4313), источник переменного тока.

⇐ Назад

Далее ⇒