Изучение магнитного поля соленоида с помощью датчика Холла
Цель работы: познакомиться с холловским методом измерения индукции магнитного поля, измерить индукцию магнитного поля на оси соленоида.
Теоретическое введение
В пространстве, окружающем проводники с током или движущиеся заряды, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напряженности магнитного поля 
или с помощью вектора индукции магнитного поля 
. Векторы и 
связаны соотношением:
, (14.1)
где 
Гн/м – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость вещества, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в веществе больше, чем в вакууме. Для вакуума μ=1.
Вектор напряженности характеризует только поле макротоков (проводимости или конвекционных), а вектор магнитной индукции – результирующее поле и макро-, и микротоков в веществе, возникших в результате намагничивания магнетика.
Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля используют закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому элементарная напряженность магнитного поля 
, создаваемая элементом проводника с током 
в некоторой точке пространства на расстоянии 
, определяется выражением:
. (14.2)
Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции: напряженность магнитного поля, созданного проводником конечных размеров, равна векторной сумме элементарных напряженностей 
магнитных полей, созданных каждым элементом тока в отдельности, то есть интегралу по контуру с током:
. (14.3)
Применим формулы (14.2) и (14.3) для вычисления напряженности магнитного поля на оси соленоида. Каждый виток соленоида – это круговой ток, поэтому первоначально вычислим напряженность поля на оси кругового витка с током (рис. 14.1).
Элементарная напряженность поля, созданного в точке А элементом тока 
, направлена по правилу буравчика перпендикулярно радиус-вектору 
, проведенному от элемента тока в точку А (рис.14.1), а ее модуль можно найти из (14.1):
, (14.4)
где α=900 – угол между векторами и . Разложим на две составляющих: 
– вдоль оси контура (ОХ) и 
– перпендикулярную оси ОХ, тогда
, 
. (14.5)
При сложении составляющих магнитного поля , перпендикулярных оси ОА, они компенсируют друг друга вследствие симметрии контура. Поэтому результирующая напряженность магнитного поля в точке А направлена вдоль оси кругового тока и равна по модулю:
(14.6)
Здесь учтено, что величины I, r, β постоянны, а интеграл по контуру 
равен длине окружности контура. Из рис.14.1 найдем 
, тогда:
, (14.7)
или:
. (14.8)
Перейдем теперь к вычислению поля соленоида, изображенного на рис. 14.2. Пусть на единицу длины соленоида приходится 
витков, тогда на участке 
будет 
витков, которые в точке О соленоида согласно (14.7) создадут напряженность
(14.9)
На рис. 14.3 отдельно изображены элемент , радиус-вектор и углы θ и dθ. Из геометрических построений рис. 14.2 и 14.3 следует:
, 
(14.10)
Рис. 14.2 Рис. 14.3
Подставляем (14.10) в (14.9) и интегрируем в пределах от θ1 до θ2:
(14.11)
В случае бесконечного соленоида θ1=0, θ2=π, и тогда
. (14.12)
Методика измерений
Для экспериментального исследования напряженности магнитного поля на оси соленоида в настоящей работе используется метод, оснований на явлении Холла. Если через проводящую пластинку поперечным сечением 
пропустить ток силой I и плотностью 
и поместить ее в поперечное магнитное поле с индукцией 
, то перпендикулярно векторам и создается электрическое поле напряженностью 
(рис. 14.4).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 | |||||
 | |||||
|
Возникающая при этом разность потенциалов 
(ЭДС Холла) пропорциональна величине тока и индукции магнитного поля:
, (14.13)
где 
– сила тока, протекающего по пластинке. (Подробнее вывод формулы (14.13) см. в лабораторной работе 2-15.)
Коэффициент пропорциональности 
называется постоянной Холла. В работе используется полупроводниковый датчик Холла марки X50I с управляющим током 
мА, поскольку постоянная Холла для полупроводников значительно больше, чем для проводников.
Силовые линии магнитного поля на оси соленоида направлены вдоль оси, поэтому датчик Холла располагается на торце специального штока, вставляемого в соленоид. Толщина датчика d в направлении магнитного поля равна 0.2 мм. Для измерения положения датчика внутри соленоида на боковой грани штока нанесена миллиметровая шкала.
При отсутствии магнитного поля ЭДС Холла должна быть равна нулю. Однако вследствие различных побочных явлений, например, недостаточно точной установки выходных электродов датчика (точки А и С рис.14.4), измерительный прибор может показать некоторую разность потенциалов даже при отсутствии тока в соленоиде. Для исключения погрешностей измерения проводят дважды при двух противоположных направлениях тока в соленоиде. Тогда 
. Однако в данной работе изменение направления тока в соленоиде не предусмотрено. Поэтому погрешность в определении 
указана на модуле ФПЭ-04.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: источник питания ИП, цифровой вольтметр PV, модуль ФПЭ-04, соленоид С, шток с нанесенной шкалой и закрепленным на торце датчиком Холла Ш (рис.14.5 и 14.6).
Порядок выполнения работы
 |
Задание 1. Определение зависимости магнитной индукции в средней точке на оси соленоида и тарировка датчика Холла.
1. Проверить схему, изображенную на рис. 14.5 и 14.6.
2. Поставить шток с датчиком Холла в среднее положение на оси соленоида ("0" по шкале).
3. Включить источник питания и цифровой вольтметр в сеть 220 В. Измерить ЭДС Холла в центре соленоида для токов 1.0; 1.5; 2.0 (А), при этом из измеренного значения необходимо вычесть поправку 
, Данные занести в таблицу 14.1.
Таблица 14.1
| № | Ток соленоида IС, А | ЭДС датчика
Холла
, мВ
| Индукция
 ,
.10-3 Тл
| Постоянная Холла
,
.10-3 м3 /Кл
|  , м3 /Кл
| |
| Без поправки | С поправкой
| |||||
| 1.0 | ||||||
| 1.5 | ||||||
| 2.0 | ||||||
| Средн. | – | – | – | – |
4. Вычислить индукцию магнитного поля для заданных значений силы тока I по формулам (14.1а) и (14.12а):
; (14.1а)
, (14.12а)
где l=0.2 м – длина катушки, 
, N=150 – число витков. Данные занести в таблицу 14.1.
5. Вычислить значения постоянной Холла для каждого измерения по формуле (14.13а), полученной из (14.13), где 
, d=0.2 мм; данные занести в таблицу. Найти среднее значение , вычислить его погрешность.
. (14.13а)
Задание 2. Исследование зависимости индукции магнитного поля от координаты z, отсчитываемой от средней точки.
1. Установить величину тока в катушке соленоида 1.5 А.
2. Перемещая шток с датчиком Холла вдоль оси соленоида с интервалом 1 см, измерять ЭДС Холла. Полученные данные заносить в таблицу 14.2.
3. Вычислить индукцию поля В для каждого положения датчика Холла по формуле (4.14б), полученной из (14.14):
. (14.13б)
При расчете использовать среднее значение , полученное в задании 1. Данные занести в табл. 14.2.
Таблица 14.2
Положение датчика  ,
мм
| ЭДС датчика Холла
, мВ
| Индукция
,
.10-3 Тл
| ΔВ, .10-3 Тл | 
| |
| Без поправки | С поправкой
| ||||
| -100 | |||||
| -90 | |||||
| -80 | |||||
| -70 | |||||
| -60 | |||||
| -50 | |||||
| -40 | |||||
| -30 | |||||
| -20 | |||||
| -10 | |||||
4. Построить график зависимости 
по данным табл. 14.2.
5. Для одного из полученных значений B рассчитать абсолютную и относительную погрешности измерения.
6. Сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Как связаны между собой напряженность и индукция магнитного поля? Что они характеризуют?
2. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа.
3. Сформулируйте принцип суперпозиции.
4. Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, дайте вывод формулы для индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.
5. Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, получите формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида конечной длины. Выведите из нее формулу для магнитного поля бесконечного соленоида.
6. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции.
7. Пользуясь теоремой о циркуляции, дайте вывод формулы для индукции магнитного поля бесконечного соленоида.
8. В чем заключается эффект Холла? Чем он объясняется?
9. Дайте вывод формулы для ЭДС Холла.
Используемая литература
[1] §§ 22.1, 22.2, 23.2;
[2] §§ 14.5, 15.2, 15.4, 15.5;
[3] §§ 2.37, 2.38;
[4] т.2, §§ 42, 43, 47, 50, 79;
[5] §§ 114, 117, 119.
Лабораторная работа 2-15
Изучение эффекта Холла в полупроводнике
Цель работы: определение постоянной Холла (R), концентрации (n), знака носителей заряда в полупроводнике и их подвижности (u).
Теоретическое введение
Эффект Холла (1879 г.) – это возникновение в полупроводнике (или металле) с током плотностью 
, помещенном в перпендикулярное току магнитное поле 
, электрического поля в направлении, перпендикулярном и . То есть, если металлическую или полупроводниковую пластинку, по которой течет ток I, поместить в перпендикулярное току магнитное поле 
, то между гранями пластинки, параллельными и полю , и току I, возникает Холловская разность потенциалов Uх.
Поместим полупроводниковую пластинку с током плотностью в магнитное поле , перпендикулярное (рис.15.1). Скорость 
носителей тока (электронов) направлена противоположно плотности тока . Электроны испытывают действие силы Лоренца
, (15.1)
величина которой равна:
, (15.1а)
так как угол α между скоростью и магнитной индукцией равен 900.
Распределение зарядов в пластинке определяется по правилу левой руки. Если ладонь левой руки расположить так, чтобы вытянутые пальцы были направлены по направлению вектора плотности тока, а вектор входил в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца. В данном случае сила Лоренца направлена вверх (рис.15.1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |||||
| | |||||
|
Таким образом, на верхней грани пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (она зарядится отрицательно), а на нижней грани – их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между горизонтальными гранями пластинки (верхней и нижней) возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность EB этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда Fл=Fэл, или 
. За счет возникшего поперечного электрического поля 
между верхней и нижней гранями возникает Холловская разность потенциалов. Так как разность потенциалов и напряжённость электрического поля связаны соотношением 
, то
Uх=hEB=hvB, (15.2)
где h – высота пластинки.
Учитывая, что плотность тока
j=qnv, (15.3)
где n – концентрация зарядов, а сила тока через образец I=jS, где S=hd – площадь сечения пластинки, получим для скорости: v=j/(qn)=I/(hdqn). С учетом (15.2) Холловская разность потенциалов:
, (15.4)
где
(15.5)
носит название постоянной Холла. Поэтому
, (15.6)
где I - ток через образец, d=3.10-4м – толщина пластинки.
По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока j прямо пропорциональна напряженности электрического поля E:
j=gE,
где g - удельная электропроводимость. С учетом (15.3):
g=qnu, (15.7)
где u=v/E – подвижность зарядов, численно равная средней скорости направленного движения зарядов в электрическом поле с напряженностью, равной 1 В/м. Зная удельную электропроводимость образца (g=0.13(Ом.м)-1), полагая q=е (заряд электрона), вычислим из экспериментальных данных постоянную Холла по формуле (15.6) и рассчитаем величину подвижности:
u=g/(en)=gRХ. (15.8)
Итак, по измеренному экспериментально значению постоянной Холла можно:
1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей);
2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока.