Дискретная случайная величина (ДСВ)

 

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (с помощью формулы) и графически.

Рядом распределения дискретной случайной величины называют таблицу в верхней строке которой в порядке возрастаний перечислены все значения случайной величины, а в нижней указаны соответствие вероятности.

 

Х x1 x2 … xn
p p1 p2 … pn

 

Т.к. в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение то события Х= x1, Х= x2, …, Х= xn образуют полную группу. По теореме о полной группе сумма вероятностей равна единице, т.е. p1+ p2+…+ pn=1.

Пример 1. Брошена игральная кость. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х-числа выпавших очков.

 

x
p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

 

Закон распределения можно изобразить графически. Для этого в системе координат строят точки , ,…, и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример 2. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен, в сессию по дисциплинам A и B, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение: Возможные значения случайной величины Х – числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.

Пусть - событие, состоящее в том, что студент сдаст первый экзамен; - событие, состоящее в том, что студент сдаст второй экзамен. Тогда вероятности того, что студент сдаст в сессию 0, 1, 2 экзамена, будут соответственно равны:

;

Составляем ряд распределения случайной величины:

 

Х
р 0,03 0.34 0.63

 

Изобразим многоугольник распределения для полученного ряда (см. рис.4)

 

Рис. 4

 

При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.

Пример 3. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения числа белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

Решение: Количество белых гвоздик среди двух одновременно взятых может быть 0 или 1 или 2. Поэтому случайная величина будет принимать значения 0, 1, 2. Вероятности этих значений рассчитаем по формуле классического определения.

Закон распределения имеет вид:

X
р 0.3 0.6 0.1

 

Пример 4. В партии из 6 деталей 2 бракованные. Составить закон распределения для числа не бракованных деталей среди 3 отобранных.

Решение: Возможные значения случайной величины таковы: 1, 2, 3. Значение ноль случайная величина принимать не может, потому что ноль не бракованных деталей среди трёх отобранных означает, что все три детали будут бракованными. Но по условию задачи имеется всего две бракованные детали. Вероятности этих значений рассчитаем по формуле классического определения.

Закон распределения имеет вид:

X
р 0.6 0.2