Функция распределения случайной величины

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений.

Однако такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально. Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х<x, обозначим через F(x).

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х: .

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения:

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2) F(x) – неубывающая функция.

при

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Пример 1. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,5; p₄=0,6. Построить интегральную функцию распределения.

Решение: Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор.

2) Отказал один из приборов.

3) Отказали два прибора.

4) Отказали три прибора.

5) Отказали все приборы.

Получаем закон распределения:

x
p	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

Функция распределения будет иметь вид (см. рис. 5):

Рис. 5.

Пример 2: Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение:Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале . Положив , , получим:

Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

Содержание отчета

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

5.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

Х
Р	0,2	0,4	0,1	0,2	0,1

2. Вероятность появления нестандартной детали в партии 0,1. Из партии наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения ДСВ - числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник распределения.

3. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения ДСВ х-числа стандартных деталей среди отобранных.

4. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти функцию распределения и построить её график.

X
p	0.2	0.1	0.4	0.3

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Вариант №2

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

х
р	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения ДСВ: числа попаданий и построить многоугольник распределения.

3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения ДСВ х-числа стандартных деталей среди отобранных.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Вариант №3

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

х
р	0.1	0.1	0.2	0.3	0.3

2. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Куплено 5 билетов. Написать закон распределения ДСВ - числа выигравших билетов среди пяти отобранных и построить многоугольник распределения.

3. Известно, что в партии из 7 телефонных аппаратов 4 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 3 аппарата. Составить закон распределения ДСВ х - числа недействующих аппаратов среди отобранных.

X
p	0.3	0.1	0.2	0.4

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Вариант №4

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

х
р	0.2	0.3	0.2	0.1	0.2

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,3. Производится 5 выстрелов. Составить закон распределения ДСВ - числа попаданий и построить многоугольник распределения.

3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения ДСВ х-числа стандартных деталей среди отобранных.

X
p	0.3	0.3	0.2	0.2

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

5.5 Вопросы к защите практической работы №5

1.Что такое случайная величина? Примеры.

2. Дать определение дискретной случайной величины? Примеры.

3. Закон распределения вероятности ДСВ.

4. Графическое изображение распределения ДСВ.

5. Какие случайные величины называют независимыми? Взаимно-независимыми?

6. Как записывать распределение функций от ДСВ?

7. Дать определение интегральной функции распределения. Свойства.

Практическая работа №6

Тема: Вычисление характеристик ДСВ.

Цель работы: Изучить характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. Научиться вычислять характеристики ДСВ, заданной своим распределением.

⇐ Назад

Далее ⇒