Дисконтування за складними відсотковими ставками

Раніше розглядалися два види дисконтування за простими відсотковими ставками: математичне і банківське. Так само математичне та банківське дисконтування проводять і за складними відсотковими ставками. Розглянемо їх докладніше.

Математичне дисконтування, яке проводиться за складною ставкою відсотків і, полягає у визначенні початкової, або теперішньої, суми боргу, що накопичиться за n років, від суми S. Формула математичного дисконтування за складною ставкою відсотків має вигляд:

. (12)

Формула (12) отримана з формули нарощення за складною відсотковою ставкою. Вираз називається дисконтним множником при математичному дисконтуванні за складною ставкою відсотків.

Приклад 8. Визначити теперішню вартість 50000 грн., які будуть виплачені через 5 років. При розрахунку застосувати ставку складних відсотків – 5% річних.

► Дано: S=50000 грн.; n=5; i=5%; P – ?

За формулою (12) знаходимо

Отже, на даний момент часу вартість майбутніх (через 5 років) 50000 грн. становить лише 39176,3 грн.

Формула (12) дещо видозмінюється, коли капіталізація складних відсотків відбувається m раз у рік за номінальною ставкою j

. (13)

У процесі дисконтування слід враховувати, що суми Р та S пов’язані між собою терміном і відсотковою ставкою і є еквівалентні: платіж S через n років рівноцінний сумі Р, яка виплачується у даний момент. Різниця між величинами S та Р, як відомо, називається дисконтом S-P=D.

Величину Р можна визначити на будь-який момент часу до моменту виплати S. чим ближче момент, для якого визначається теперішня вартість до моменту виплати суми S, тим менша сума дисконту.

Математичне дисконтування за складною ставкою відсотків широко використовується при зведенні майбутніх доходів від обладнання на підприємстві чи інвестицій іншого характеру до моменту вкладання грошей у це обладнання чи інвестиції. Точний математичний розрахунок дає змогу обрати раціональне, найбільш вигідне фінансове рішення сьогодні, щоб завтра отримати високі прибутки.

Банківське дисконтування (комерційний облік) проводять за складною обліковою ставкою. Тут процес дисконтування відбувається сповільнено, оскільки на кожному кроці у часі облікова ставка застосовується не до однієї суми (як при обліку за простою обліковою ставкою), а до суми, зменшеної на величину дисконту, визначеного на попередньому кроці.

Банківське дисконтування за складною обліковою ставкою проводиться за формулою

. (14)

Приклад 8. Знайти суму дисконту при продажі фінансового доручення на 50000 грн., якщо термін його погашення – 2,5 року, а покупець застосував складну річну облікову ставку – 8%?

► Дано: S=5000 грн.; n=2,5; d_c=8%. D – ?

Спочатку за формулою (14) знайдемо теперішню вартість фінансового доручення:

Сума дисконту – 941 грн.

Дисконтування за складною обліковою ставкою приводить до результатів, які вигідніші для боржника, ніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою.

Банківське дисконтування можна проводити m разів на рік. У цьому випадку застосовують номінальну облікову ставку f, а кожне дисконтування проводиться за ставкою . Формула банківського дисконтування за номінальною обліковою ставкою

. (15)

Дисконтування не один, а m разів на рік сповільнює цей процес.

Приклад 9. Використавши умови прикладу 8, провести дисконтування за складною обліковою ставкою не один, а 4 рази на рік (щоквартально), тоді:

За формулою (14) знаходимо

;

Як бачимо, при частішому дисконтуванні дисконт зменшився з 941 до 915 грн.

Іноді у практиці використовують нарахування відсотків за складною обліковою ставкою, тоді з формули (14) та (15) матимемо такі формули нарощення за складною обліковою ставкою:

Приклад 10. Знайти нарощену суму боргу, якщо початкова його сума 100 тис. грн., термін погашення – 1,5 року. У контракті передбачається складна річна облікова ставка 10%.

► Дано: Р=100000 грн.; d_C=10%; n=1,5. S – ?

За останньою формулою, маємо