Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. Похідна функції f у точці х0 визначається рівністю
. (4.1)
Оскільки – це
, то
відрізняється від
на деяку нескінченно малу величину
, яка прямує до нуля, коли
. Тому рівність (4.1) можна записати у вигляді
=
+
, (4.2)
де , коли
.
З (4.2) маємо
. (4.3)
Обидва доданки у рівності (4.3) є нескінченно малими величинами при .
Якщо функція y=f(x) диференційовна у точці х0, то добуток називають диференціалом функції f у точці х0 і позначають df(х0).
Отже,
df(х0)= . (4.4)
Тому рівність (4.3) можна записати так:
. (4.5)
Якщо f(x)=x, то . Отже,
. Враховуючи це, рівність (4.4) можна записати у вигляді
df(х0)= . (4.6)
З рівності (4.5) випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала на нескінченну малу величину при . Тому
або
або
, коли
. (4.7)
За допомогою формули (4.7) можна обчислювати наближені значення функції у точках, близьких х0.
Використовуючи формулу (4.7) можна довести, що
. (4.8)
Зокрема, якщо , то
. (4.9)