П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Тема 4. Приложение производной.
Теорема Ферма. Если функция 
непрерывна на отрезке 
и достигает своего наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке 
этого отрезка (т.е. 
), то, если в точке существует производная 
, то она обязательно равна 0: 
.
Геометрический смысл.
Касательная будет параллельна оси 
– геометрическое истолкование теоремы Ферма (Рис. 1).
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале 
и при этом 
, т.е. принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере одна точка такая, что .
Геометрический смысл
Если на концах отрезка функция
дифференцируема и принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка, где касательная параллельна оси
– геометрическое истолкование теоремы Ролля (Рис. 2).
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда существует такая точка , что
.
Геометрический смысл.
На отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой 
будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги кривой ( 
– тангенс угла наклона хорды, которая стягивает концы кривой) (Рис. 3).
