П. 4.3. Возрастание и убывание функции
Определение.Функция называется возрастающей на множестве
, если для любых значений
и
из области определения:
, и убывающей, если для любых значений
и
из области определения:
.
Теорема (достаточное условие монотонности функции на отрезке).Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
. Тогда, если для любой точки
интервала
, то функция
– возрастающая на интервале
и если
, то
– убывающая на интервале
функция.
Геометрический смысл Если в некотором промежутке касательная к графику функции y=f(x) образует с осью Ox острый угол α (tgα˃0), то функция строго возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику функции y=f(x) образует с осью Ox тупой угол α (tgα˂0), то функция строго убывает в этом промежутке (Рис. 4).
Рис. 4