Тригонометрические уравнения
1. 
Частные случаи
2. 
Частные случаи
3. 
Частные случаи
4. 
Частные случаи
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Функции arcsin a, arctg a являются нечетными; функции arccos a,
arcctg a не являются четными, не являются нечетными.
Для тригонометрических уравнений не существует единого метода
решения. В каждом конкретном случае успех определяется, в частности,
знанием тригонометрических формул и навыками решения задач.
Необходимо помнить следующие моменты:
При решении тригонометрических уравнений нельзя сокращать на
переменную величину, это может привести к потере корней уравнения.
Необходимо каждый множитель исследовать на решение.
2. При решении тригонометрических уравнений необходимо учитывать
область допустимых значений (О.Д.З.).
3. При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут
появляться посторонние корни. Необходима отборка полученных
решений, но это сложно, поэтому по возможности нужно обходиться
без этой операции.
4. Потеря корней уравнения может произойти и от замены
тригонометрических функций через тангенс x = t 2tg − универсальная
тригонометрическая подстановка. Тогда sin x = ; 12 1 tg ( / 2) 2tg( / 2)
Функция tg (х/2) не существует для х/2 = π/2 + πn, т.е. х ≠ π +
2πn. Но sin x и cos x определены в этих точках. Поэтому необходимо
всегда проверять корни х = π + 2πn на решение отдельно.
o Простейшие тригонометрические уравнения.
o Уравнение sin x = a
Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z.
2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.
o Уравнение cos x = a
Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней.
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z.
3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.
o Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.
o Уравнение ctg x = a
Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.