Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
Те, кто освоил темы "Тригонометрический круг", и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге" - люди грамотные. И, возможно, уже приготовили мне убойный вопрос.) По определению, скажем, arcsin 0,5 - это угол, синус которого равен 0,5. Т.е 30°. Но...
Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как:
sin30° = 0,5
sin150° = 0,5
sin390° = 0,5
sin510° = 0,5
И так до бесконечности... Неоднозначно получается! Получается, что arcsin0,5 это и 30°, и 150°, и 390°, и 510°, и ....
Да. Именно так. Арксинус 0,5 - это действительно бесконечный набор углов. Но обозначается такой арксинус вот как: Arcsin0,5. С заглавной буквы. В школе такие арксинусы не изучают. В школе изучают арки с маленькой буквы: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Такие арки называются главными значениями арксинуса, арккосинуса и т.д. и имеют жёсткие ограничения по величине. Для однозначности.
С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем: arсsin (любой) - это угол, который располагается в интервале:
arсcos (любой) - это угол, который располагается в интервале:
arсtg (любой) - это угол, который располагается в интервале:
arсctg (любой) - это угол, который располагается в интервале:
Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:
Зелёным нарисованы углы, которые пробегают значения от - Пи/2 до + Пи/2. Это и есть разрешённая зона для арксинусов. И никаких дополнительных оборотов! Строго от -90° до +90°! Никакой arcsin не может быть равным, например 120°, 180° или 330°. А вот 50°, -65°, 90° или 25° - пожалуйста!
Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона.
А теперь наведите курсор мышки на рисунок. Вы увидите диапазон арктангенсов. Найдите 2 отличия.) Да! Конечные точки на оси ОУ стали белыми! Это означает, что они не включаются в диапазон арктангенсов. Арктангенс не может быть равным ±90°. По той простой причине, что тангенс 90° (и -90°) не существует.
Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):
Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что...)
А зачем все эти арки? - слышу ещё один осторожный вопрос.)
Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос:
У какого угла синус равен 0,4?
Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу...)
А через арксинус мгновенно даётся абсолютно точный ответ: угол, у которого синус равен 0,4 - это arcsin 0,4 ! Просто по смыслу арксинуса: arcsin 0,4 - это и есть угол, синус которого равен 0,4. Разумеется, это не единственный угол, синус которого равен 0,4, но через арки и все остальные записываются в три секунды. Этим мы в тригонометрических уравнениях займёмся.
Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы:
У какого угла синус равен -0,7 ?
У угла arcsin (-0,7).
У какого угла косинус равен 0,03 ?
У угла arccos 0,03.
У какого угла тангенс равен 3 ?
У угла arctg 3.
У какого угла котангенс равен 0,123 ?
У угла arcctg 0,123.
Вам кажутся странными эти вопросы? Привыкайте.) Это главные вопросы любоготригонометрического уравнения. Для решения таких уравнений арки подходят - лучше некуда.