Преобразования Фурье и свертка
Пусть 
и 
преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций f1(x) и f2(x). Выясним, преобразованием Фурье какой функции является произведение 
:
.
Двойной интеграл абсолютно сходится (существует повторный от модулей, поэтому существует двойной от модулей по следствию теоремы Фубини). Чтобы от двух экспонент перейти к одной, сделаем замену 
:
.
Перестановка интегралов законна в силу теоремы Фубини.
Определение. Сверткой функций f1(x) и f2(x) называется функция того же аргумента x 
. Свертка обозначается (f1* f2)(х).
При 
свертка f(x)= (f1* f2)(х) существует при почти всех х и принадлежит 
в силу теоремы Фубини.
Итак, свертка двух функций из преобразованием Фурье переводится в произведение их образов.
Свертка коммутативна и ассоциативна, поскольку преобразованием Фурье она переводится в коммутативную и ассоциативную операцию умножения.
Упражнение. Пусть еа(х) – характеристическая функция интервала 0<x<a. Найти свёртку 
, a<h<b.