Аналитичность преобразования Фурье

Гладкость функции зависит от скорости стремления к нулю при . Пусть интегрируемым является произведение – фиксированная постоянная.

По определению для . Определим этим же равенством функцию комплексного аргумента :

Этот интеграл сходится в полосе , так как и для всех действительных .

Утверждение. – аналитическая функция комплексного переменного в полосе . При эта функция стремится к нулю равномерно по .

Доказательство. В каждой внутренней точке полосы эта функция комплексного аргумента дифференцируема: при формальном дифференцировании по имеем

этот интеграл равномерно сходится в некоторой окрестности точки (не выходящей за пределы полосы) и представляет, следовательно, производную функции . Функция ограничена во всей указанной полосе:

Отсюда следует, в частности, что последовательности функций , сходящейся по отвечает последовательность , равномерно сходящаяся во всей полосе .

Далее, можно утверждать, что функция стремится при к нулю равномерно по , . Действительно, это имеет место для преобразования Фурье характеристической функции интервала :

поскольку числитель полученного выражения ограничен при ( ). К общему случаю можно перейти обычным предельным переходом от ступенчатых функций.

Утверждение доказано.

Отметим, что в силу последнего свойства в формуле обращения можно произвести интегрирование не только по вещественной оси, но по любой параллельной прямой, лежащей в указанной полосе -плоскости, так что

В приложениях иногда приходится применять преобразования Фурье к функциям, имеющим разное асимптотическое поведение при и .

Теорема. Пусть – локально абсолютно интегрируемая функция вещественного аргумента такая, что при и при , причём . Тогда интеграл

определяет аналитическую функцию от в полосе . При любом имеет место формула обращения

если только она имеет место хотя бы для одного .

Замечание.В приведенной ниже теореме доказано, что формула обращения имеет место для любого .

Доказательство. Сходимость интегралов от и от в полосе следует из локальной интегрируемости и оценок при и :

при , так как ,

при так как .

Стремление к нулю при сохраняется при умножении экспонент на .

Убедимся в справедливости формулы обращения, для чего подставим в неё

Возможность обращения преобразования Фурье на функции при любом вытекает из предположения о его обратимости при , так как в силу теоремы Коши и равномерного по стремления к нулю функции .

Теорема доказана.

Переход к комплексным значениям аргумента образа преобразования Фурье позволяет применять его к функциям вещественного аргумента, которые на всей вещественной оси могут быть неинтегрируемыми.