Раскрытие неопределенностей
Правило Бернулли-Лопиталя
I Понятие неопределенного выражения
Пусть и
– бесконечно малые, а
и
– бесконечно большие функции при
.
Неопределенными выражениями (или неопределенностями) при называют следующие выражения:
1) – неопределенность вида
;
2) – неопределенность вида
;
3) – неопределенность вида
;
4) – неопределенность вида
;
5) – неопределенность вида
;
6) – неопределенность вида
;
7) – неопределенность вида
.
Раскрыть неопределенность означает вычислить предел (соответствующего выражения) при .
II Неопределенности вида ,
.
Теорема Бернулли–Лопиталя. Пусть функции и
удовлетво- ряют условиям: 1) определены и дифференцируемы на
; 2)
; 3)выражение
являются при
неопределенностью вида
или
. Тогда, если существует предел
(конечный или бесконечный), то существует и предел
, причем справедлива формула
.
Другими словами предел отношения двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношения их производных, если последний существует – это и есть правило Бернулли-Лопиталя.
Доказательство. Докажем теорему лишь для случая . Доопределим функции
и
в точке
, положив их равными нулю:
. Теперь эти функции непрерывны во всем замкнутом промежутке
: их значение в точке а совпадают с пределами (ведь
и
при
), в других же точках непрерывность вытекает из дифференцируемости. К этой паре функций можем применить теорему Коши из §3:
,
где . Учитывая, что функции в точке а равны нулю, получим
.
Очевидно, что при и
. Правая часть последнего равенства имеет при
предел
(по условию теоремы), но тогда и левая часть имеет тот же самый предел.
Замечание 1. Аналогичное утверждение имеет место и для левого предела, а также для пределов на бесконечности, т.е. при .
Пример 1. Для
. Этим пределом доказано, наконец, соотношение
, то есть
при
(
).
Замечание 2. Если производные и
удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции
и
, то правило Бернулли-Лопиталя можно применить повторно.
Пример 2. .
Нетрудно заметить, что
.
Другими словами, или
при
.
Замечание 3. Правило Бернулли-Лопиталя можно применять только, когда предел отношения производных существует. Например,
,
но не существует. Этот пример показывает, что из не-существования
нельзя делать вывод о
.
Замечание 4. Существуют ситуации, в которых применение правила Бернулли-Лопиталя ничего не дает.
Пример 3. .
Еще одно применение правила вернет нас к исходному пределу.
III Другие виды неопределенностей.
Еще раз напомним, что правило Бернулли-Лопиталя применимо лишь к неопределенностям вида и
. Все остальные неопределенности необходимо сводить к одной из этих двух путем алгебраических преобразований.
А) . Так как
, то эту неопределенность можно свести к
или
.
Пример 4. Для :
.
Заметим, что, если иначе преобразовать произведение в частное, то применение правила Бернулли-Лопиталя приводит к усложнению неопределенности: .
B) . Так как
,то данная неопреде-ленность сводится к виду
. Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще.
Пример 5.
Вычисления можно упростить, если перед первым применением правила использовать эквивалентность ,
:
.
С) ,
,
. Так как
(основное логарифмическое тождество) и
(непрерывность показательной функции), то неопределенности этих типов сводятся к неопределенности вида
.
Пример 6. (смотри пример 4).
Пример 7.
(смотри пример 1).
Замечание 5. Раскрывая неопределенности по правилу Бернулли-Лопиталя, следует использовать и другие методы вычисления пределов: эквивалентности, замена переменной и т.д.
Пример 8.
(смотри пример 2).