Дифференциал функции
I Определение и геометрический смысл
Известно, что приращение дифференцируемой в точке 
функции 
можно записать в виде суммы
двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при 
. Однако, второе слагаемое имеет порядок малости более высокий, чем первое (“быстрее” стремится к нулю). То есть в этой сумме главную роль играет первое слагаемое.
Определение. Главная часть приращения 
функции , линейная относительно приращения 
аргумента x, называется дифференциалом функ-ции и обозначается символом dy.
Итак, 
.
Геометрический смысл виден из рисунка: дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента .
Дифференциалом независимой переменной x, принято называть ее приращение и обозначать dx: 
. Тогда формула для дифференциала функции приобретает симметричный вид
или 
.
II Инвариантность формы первого дифференциала
Правило дифференцирования сложной функции приводит к одному очень важному свойству дифференциала. Вычислим dy для функции 
в двух случаях:
1) x – независимая переменная, тогда 
;
2) x – некоторая функция 
, тогда
Сравнивая результаты, получаем т.н. свойство инвариантности формы первого дифференциала:
форма 1го дифференциала функции не зависит от того, является
ли переменная x независимой или функцией другой переменной.
III Таблица дифференциалов
Так как дифференциал dy лишь множителем dx отличается от производной 
, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.
1. 
, 
, 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
.
4. 
. 5. 
.
6. 
. 7. 
.
8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
.
Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:
а) 
б) 
в) 
Отметим, что в таблице дифференциалов переменная x может быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6) x – это только независимая переменная.
Замечание. Формула для дифференциала функции , а именно:
,
позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dx и dy:
.
При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dx и dy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:
для сложной функции 
;
для обратной функции
;
для функции, заданной параметрически 
.