Первой производной
Если х = а - точка экстремума функции , то касательная (в том случае, когда она существует) к графику этой функции в точке
параллельна оси 0х (рис. 2).
![]() | у максимум ![]() | |
![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ||
![]() ![]() | минимум ![]() | |
![]() | 0 а b х | |
Рис. 2 |
Правило нахождения точек экстремума:
1. Находят производную .
2. Находят все критические точки из области определения функции.
3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.
Задание 33. Исследовать на экстремум функцию: .
Решение: 1. Находим производную: .
2. Приравниваем её нулю 2х = 0, откуда х = 0 – критическая точка.
3. Определяем знак производной при значении x < 0, например, при . Определяем знак производной при x > 0, например, при
. Так как при переходе через х = 0 производная изменяет знак с минуса на плюс, при х = 0 функция имеет минимум.
4. Находим минимальное значение функции, т.е. . Теперь можно на чертеже изобразить вид кривой вблизи точки А(0;2) (рис. 3).
![]() |
![]() |
![]() |
А(0;2) |
![]() ![]() ![]() |
01 х |
Рис. 3 |
Задание 34. . Исследовать на экстремум, найти интервалы монотонности функции.
Решение: 1. Находим производную:
.
2. Находим критические точки: .
3. Исследуем знаки производной слева и справа от критической точки: .
Следовательно, при функция имеет минимум
.
Результаты можно отразить в таблице:
х | (-¥; -1) | -1 | (-1; ¥) |
![]() | - | + | |
у | убывает | уmin= -1/е | возрастает |