Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции
Основные правила дифференцирования:
1.Производная постоянной равна нулю, т.е. .
2.Производная аргумента равна единице, т.е. .
3.Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .
4.Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .
Следствие 2.Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .
5.Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что
).
6.Производная сложной функции.Пусть задана сложная функция .
Теорема. Если и
- дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной
, т.е.
.
Производные основных элементарных функций (таблица производных):
1.Производная логарифмической функции.
А) и
, где
- некоторая функция зависящая от
.
Б) и
.
2.Производная показательной функции.
А) и
.
Б) и
.
3.Производная степенной функции.
и
.
4.Производная степенно-показательной функции.
.
5.Производная тригонометрических функций.
и
;
и
;
и
;
и
.
7.Производная обратных тригонометрических функций.
и
;
и
;
и
;
и
.
Пример. Найти производные следующих функций: