Понятие дифференциала и его геометрический смысл
Пусть функция 
определена на промежутке 
и дифференцируема в окрестности точки 
,тогда 
или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем 
, где 
- бесконечно малая величина при 
. Отсюда: 
. Таким образом, приращение функции 
состоит из двух слагаемых: 1. 
- линейного относительно 
, т.к. 
; 2. 
- нелинейного относительно , т.к. 
.
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: 
.
Пример. Найти приращение функции 
при 
и 
Пример. Найти дифференциал функции 
.
Дифференциал независимой переменной 
равен приращению этой переменной: 
.
Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: 
. Откуда 
, поэтому 
можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем 
и знаменателем 
.
Геометрический смысл.На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку 
. Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение 
. В точке 
проведем касательную, образующую угол 
с осью 
. Из 
видно, что 
. Из 
имеем: 
. Таким образом, 
и соответствует формуле .
Рис. 5.
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:
1)  .
| 4)  .
|
2)  .
3)  .
| 5)  .
|
Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной 
. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала, т.е. 
.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала.Согласно формулы , т.е. 
, при достаточно малых значениях приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу 
, 
. Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить 
.