Теорема Гаусса для вектора . Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен минус избыточному связанному заряду диэлектрика внутри этой поверхности
. (82)
Доказательство. Пусть замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика (заштрихован на рис.25, слева). При включении поля вследствие поляризации заряд проходит через элемент dS этой поверхности (на рис.26 справа – увеличенный фрагмент). Пусть смещение положительного заряда характеризуется вектором , а отрицательного – вектором
. Через dS наружу выйдет положительный заряд
из внутренней (пунктирной) части косого цилиндра, а внутрь войдет отрицательный заряд
из внешней части цилиндра, что эквивалентно переносу положительного заряда в обратном направлении. Значит, суммарный связанный заряд, выходящий наружу через dS, равен
=
,
где - расстояние, на которое сместились друг относительно друга центры масс положительных и отрицательных зарядов при поляризации. Согласно (80)
, Þ
=
. Проинтегрировав это выражение, найдем весь заряд, который вышел из объема внутри замкнутой поверхности S при поляризации. Внутри останется избыточный заряд -
противоположного знака, Þ получим выражение (82):
, что и требовалось доказать.
Теорема Гаусса для поля вектора . Поскольку источниками электрического поля являются любые заряды, а именно: связанные и сторонние (т.е. не входящие в состав молекул диэлектрика, мы их обозначали просто q), то теорему Гаусса для вектора
можно переписать так
. Подставим
из (74):
, Þ
. Учитывая, что оба интеграла берутся по одной поверхности S, перенесем второй интеграл влево и запишем под одним знаком:
, Þ
. Вспомогательный вектор во внутренних круглых скобках обозначают
. (83)
и называют электрическим смещением. Тогда для него можно компактно сформулировать теорему Гаусса:
. (84)
Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен суммарному стороннему заряду внутри этой поверхности.
Связь между векторами и
. Подставив выражение (81), верное только для изотропных диэлектриков:
=æεо
® (83), получим
=εо(1+æ)
, или
, (85)
где диэлектрическая проницаемость ε=æ+1. Для всех веществ , а для вакуума
. Из (85) следует, что векторы
и
направлены одинаково. Поскольку источниками вектора
являются только сторонние заряды, линии вектора
проходят области с диэлектриком, не прерываясь. Это позволяет выбрать правильную тактику при решении задач: сначала найти вектор
, а затем, используя (85), вычислить вектор
(ибо расположение сторонних зарядов обычно известно, а распределение связанного заряда представляет весьма сложную задачу).
Условия для векторов
и
на границе раздела диэлектриков. Пусть два однородных изотропных диэлектрика имеют общую границу (рис.27), и напряженность электрического поля в диэлектрике 1 равно
, а в диэлектрике 2 -
. Возьмем вдоль границы прямоугольный контур столь малой длины l, чтобы вдоль него напряженность
в каждом диэлектрике пренебрежимо мало изменялась. Устремим высоту контура к нулю, тогда циркуляция вдоль этого контура сведется к сумме вдоль сторон l и по теореме о циркуляции должна быть равна нулю:
, Þ
. Это значит: тангенциальная составляющая вектора
одинакова по обе стороны от границы.
Теперь возьмем цилиндр малого сечения S на границе раздела (рис.28). Тогда по теореме Гаусса для вектора (при стремлении высоты цилиндра к нулю и одновременно к границе):
, где s - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Отсюда
. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то
, т.е. нормальная составляющая вектора
одинакова по обе стороны от границы.
Величины и
меняются при переходе границы. Запишем (85) в проекциях:
, Þ
,
, и так как
, Þ
, Þ
. Это значит, нормальная составляющая вектора
терпит скачок при переходе границы, а сами линии вектора
преломляются. Запишем (85) в проекции на тангенциальное направление:
, Þ
,
, и так как
, Þ
. Это значит, тангенциальная составляющая вектора
терпит скачок при переходе границы, а сами линии вектора
преломляются. Сопоставление выражений в рамках показывает, что если
, то при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная компонента вектора
уменьшается, а тангенциальная компонента вектора
увеличивается.
Энергия электрического поля. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора (рис.29). Пусть верхняя пластина заряжена зарядом +q до потенциала φ1, а нижняя – зарядом -q до потенциала φ2. Работа против сил поля при переносе очередной порции заряда +dq>0 с нижней пластины на верхнюю идет на увеличение энергии взаимодействия зарядов:
=
=
. Выразим напряжение через емкость конденсатора (
):
, Þ
. Далее интегрируем:
. Емкость плоского конденсатора
, где S – площадь каждой из пластин, d – расстояние между ними, Þ
. Умножим числитель и знаменатель на S и учтем, что
и
(объем пространства между пластинами), Þ
. Теперь умножим числитель и знаменатель на
и учтем, что
, Þ энергия заряженного конденсатора
. (86)
Отношение является энергией единицы объема и называется плотностью энергии электрического поля
. (87)
Учтем, что =
, Þ
. Умножим это равенство скалярно на вектор
, Þ
® (87), Þ
. (88)
Полученное выражение представляет собой сумму плотности электрической энергии в вакууме и плотности энергии поляризации диэлектрика. Следовательно, электрическая энергия локализована в самом поле: как там, где есть вещество, так и там, где его нет. Однако стационарное поле может существовать только в присутствие порождающих его зарядов, а вот переменные поля могут существовать и самостоятельно.