Материальные уравнения

Уравнение Максвелла для поля в веществе можно получить из уравнений поля в вакууме. Но их надо рассматривать как обобщения законов сохранения.

пара

В этих уравнения появилось два новых вектора и напряжённость магнитного поля и индукция электрического поля. С помощью этих векторов учитывается вклад заряда вещества в общее поле.

В интегральной форме:

пара

Система уравнений (1)-(2) не являются замкнутыми. Это система 8-ми скалярных уравнений относительно 12-ти неизвестных компонент векторов .

Поэтому уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, которые связывают векторы и , учитывающие вклад заряда в веществе в общее поле, с векторами и . Уравнения связи можно записать в виде соотношений: (5)

(6)

(7)

Уравнения Максвелла универсальны и пригодны для описания любых сред, в то время как уравнения (5) – (7) существенно зависят от свойства среды, поэтому их называют материальными уравнениями. Эти уравнения могут быть сложными: связь может быть нелинейной, нелокальной во времени и пространстве (т.е. значения и в некоторые моменты времени и в некоторых точках пространства могут зависеть от и в других точках и в другие моменты времени). Нелокальность уравнений связи обуславливает такие свойства среды, как пространство и временная дисперсия.

В силу линейности уравнений Максвелла их решение удовлетворяют принципу суперпозиции. Для электромагнитного поля в вакууме, например если - решения уравнений Максвелла, то и ,

- тоже решения Максвелла.

Сочетание уравнений Максвелла и линейных уравнений связи составляют основу нелинейной электродинамики.

В простейшем случае матер уравнения имеют вид:

(8)

(9)

(10)

где и - соотв. диэлектрическую проницаемость, магнитная проницаемость и проводимость среды; в общем случае и - тензоры. Если хотя бы один из и - тензор, то среда анизатропна. В противном случае среда изотропна. Если , зависят (явно) от времени, то среда нестационарна. В противном случае стационарна.

Если , зависят от координат, то среда неоднородна, иначе - однородна.

Для вакуума:

Истинные физические силовые поля (поля, определяющие силу, которая действует на пробный заряд q) характеризуется векторами и . За вектором сохранилось неудачное название “магнитной индукции”, хотя принято является магнитным аналогом напряжённости электрического поля .