Гамма-распределение
Гамма-распределение является двух параметрическим распределением, и зависит от 
– параметра масштаба закона распределения и 
– параметра формы закона распределения. Плотность вероятности отказа системы и определяются по формуле:
, (1.19)
где 
– гамма-функция;
Гамма-функция обладает следующими свойствами:
- интеграл 
имеет конечную величину при 
;
- 
;
- 
, при 
;
- 
, 
; 
; 
.
Значения гамма-функции табулированы, а основные ее свойства изложены в [4].
При 
интенсивность отказов монотонно убывает (что соответствует периоду приработки системы и ее элементов), при 
– возрастает (что характерно для периода изнашивания и старения элементов). При 
-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, а при 
-распределение приближается к нормальному закону. Если принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое -распределение называют распределением Эрланга. Если 
, а значение кратно 
, то
-распределение совпадает с распределением хи-квадрат. При увеличении
-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени (рис. 1.12).
а)
|  б)
| 
в)
|
Рисунок 1.12 – Типичные зависимости характеристик надежности
для -распределения
Гамма-распределение занимает важное место в теории надежности при описании систем с ненагруженным резервированием, состоящих из одинаковых элементов с экспоненциальными законами распределения. Если отказ системы возникает тогда, когда произойдет не менее отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами , плотность вероятности отказа системы и определяются по формуле:
Гамма-распределение широко применяется при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем.
Вероятность и более отказов, т.е. вероятность отказа данной системы
.
Среднее время наработки до отказа
. (1.20)
Интенсивность отказов системы
. (1.21)
Вероятность безотказной работы системы
. (1.22)