Основные правила построения модели
Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа:
- кружки (вершины графа ,
,…,
) – возможные состояния системы
, возникающие при отказах элементов;
- стрелки – возможные направления переходов из одного состояния в другое
.
Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.
Примеры диаграмм графа представлен на рис. 2.16.
![]() | ![]() |
Рисунок 2.16 – Примеры диаграмм графа состояний системы с восстановлением («восстанавливаемый элемент») (а) и системы без восстановления («невосстанавливаемый элемент») (б)
На рис 2.16 введены следующие обозначения:
- – работоспособное состояние;
- – состояние отказа.
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы ,
,…,
. Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.
Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний
,
, … ,
, … ,
,
где – вероятность нахождения системы в момент
в
состоянии,
.
Очевидно, что для любого
(2.42)
По графу состояний (рис. 2.17) составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид
. (2.43)
Рисунок 2.17 – Диаграмма графа состояний
В общем случае, интенсивности потоков и
могут зависеть от времени
.
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени от
;
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний ,
, … ,
, … ,
необходимо задать начальное значение вероятностей
,
, … ,
, … ,
, при
, сумма которых равна единице:
Если в начальный момент состояние системы известно, например,
, то
, а остальные равны нулю
.