Элементы теории множеств

Множеством называется любое объединение определённых, вполне различимых объектов; их может и не быть вообще. Можно говорить о множестве точек на отрезке [0,1], множестве студентов в группе, множестве снежных дней в июле на экваторе, т.е. множество образуют любые объекты, объединённые по любому признаку. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым, обозначается Ø. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным.

Задать множество можно перечислением его элементов. Например, множество, образованное из n элементов а₁, а₂, ..., а_n, обозначается А = {а₁, а₂, ..., а_n}; пишется а А (говорится «элемент а при надлежит множеству А»), если а является элементом множества А, в противном случае a A. Задать множество можно также, указав общее свойство для всех его и только его элементов. Например, множество равноудалённых от концов отрезка точек. Два множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов; записывается А = В. Множество B называется подмножеством А (записывается BÌА), если все элементы множества А₁ являются элементами А.

Для множеств определены следующие операции: объединение, пересечение, дополнение. Объединением множеств А и В (записывается AÈB) называется множество, состоящее из элементов как одного, так и второго множества. Например, А и В – множества точек, принадлежащих некоторым двум кругам, имеющим общие точки, тогда объединением AÈB будет фигура, состоящая из общих точек. Пересечением множеств А и В (записывается АÇВ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как одному, так и второму множеству одновременно. Дополнением множества А до В называется множество, состоящее из элементов множества В, не принадлежащих А. Дополнение обозначается C = В-А (рис. 3.1).

АÇВ

АÈВ

В-А

Рис. 3.1. Операции над множествами