Оптимизация надежности и объемов испытаний элементов систем при нормальном законе распределения параметров работоспособности
Согласно результатам, полученным в работе [ 7 ], нижняя граница надежности элемента 
, прогнозируемая после проведении k испытаний , в случае нормального распределения параметров работоспособности, может быть оценена по соотношению
,
где 
коэффициент вариации коэффициента параметрического запаса 
;
уровень доверительной вероятности;
математическое ожидание коэффициента запаса; k- число испытаний;
функция нормированного нормального распределения .
Таким образом потребный уровень математического ожидания коэффициента запаса удовлетворяет соотношению
После преобразований будем иметь
,
Введя обозначения 
, получим 
.
Таким образом 
, где 
.
Следовательно, требуемый уровень надежности может быть подтвержден при различных комбинациях параметров tmi и 
. Среди многообразия этих значений целесообразно выбрать те, которые обеспечивают заданный уровень вероятности отказа при минимальных затратах средств.
Очевидно, уровень избыточности элементов системы tmi будет определять производственные и эксплуатационные расходы на выполнение программы:
где 
N – объем выпускаемой продукции;
коэффициент чувствительности, характеризующий удельные затраты на обеспечение единицы надежности, выраженной в гауссах.
Параметр 
определяется уровнем избыточности элемента. В частности, при использовании «горячего» резерва вероятность отказа резервной группы 
оценивается по соотношению
,
где 
вероятность отказа нерезервированного элемента; 
условная кратность резерва.
Отсюда 
.
Очевидно стоимость резервированного элемента будет равна
,
где 
стоимость нерезервированного элемента;
вероятность отказа нерезервированного элемента;
затраты на единицу надежности, выраженной в беллах.
Переходя к оценке надежности в гауссах, получим
, где 
; 
.
Очевидно параметр b характеризует удельные затраты на единицу надежности, выраженной в гауссах.
Зависимость стоимости от кратности резерва можно представить в виде
.
Вид функции 
зависит от типа резервирования .Очевидно, в случае «горячего» резерва , имеем 
.
. Для «холодного» резерва стоимость резервной группы представим в виде
,
где m – общее число элементов в резервной группе.
Отсюда 
.
Для нахождения m воспользуемся приближенной оценкой 
[5].
.
После логарифмирования, получим
.
Характер изменения m по 
для различных 
представлен на рис. 2.8
Рис. 2.8 Зависимость числа элементов m в резервной группе от
кратности резерва .
При проведении практических расчетов зависимость 
, в реальном диапазоне изменения надежности, можно аппроксимировать прямой
.
В частности, для рассматриваемого случая, получим
В дальнейшем найдем аналогичные соотношения для элементов с параметрической избыточностью. При решении поставленной задачи, вероятность отказа элементов с параметрической избыточностью условно представим в виде
где - вероятность отказа элемента, соответствующая коэффициенту запаса 
; условная кратность резерва.
Согласно результатам, полученным в работе [ 7 ], надежность элемента 
,прогнозируемая после проведении k испытаний , может быть оценена по соотношению
,
где коэффициент вариации коэффициента запаса;
уровень доверительной вероятности;
математическое ожидание коэффициента запаса.
Знание , позволяет оценить условную кратность резерва
,
В дальнейшем будем считать, что стоимость резервированного элемента пропорциональна коэффициенту запаса 
. Тогда функцию можно оценить по соотношению 
.
Характер изменения функции представлен на рис. 2.9 .
Рис. 2.9 Характер изменения функции 
для элементов с параметрической избыточностью.
При построении графика было приняты следующие исходные данные:
1.3 ; 
0,95 ; 
0,1 ; 
2, 5, 10.
Как видно из графика функция слабо зависит от объема испытаний k . Приближенно для функции может быть принята линейная аппроксимационная зависимость
.
С учетом полученных результатов, выражение для стоимости примет вид
,
где 
Отсюда
, где 
.
Для рассмотренного в примере случая : 
Соответственно затраты на экспериментальную отработку будут определяться объёмами испытаний элементов
где Ci - затраты на проведение одного испытания i-го элемента,
– затраты, не зависящие от варьирующихся параметров.
Таким образом, решение задачи сводится к минимизации функции суммарных затрат
(2.36)
В качестве дисциплинирующего условия рассмотрим правую границу неравенства ( 2.35 )
В дальнейшем для нахождения оптимального решения задачи рассмотрим функцию Лагранжа
Оптимальные параметры будут удовлетворять системе алгебраических уравнений:
При нахождении производной 
, предполагая, что число испытаний 
существенно меньше объема транспортной программы N, вторым слагаемым в выражении (2.36) можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем удельные затраты на проведение одного испытания 
будем считать постоянными для каждого i-го элемента системы.
Производя дифференцирование, получим:
(2.37)
Разрешая систему уравнений относительно Ki, найдем
(2.38)
Соотношение (2.38) позволяет оценить оптимальный объем испытаний с точностью до целых. Таким образом оптимальные объемы испытаний отдельных элементов не зависят от требований, предъявляемых к надежности систем и определяются соотношением удельных затрат на обеспечение единицы надежности, закладываемой на этапе проектирования, и затрат на проведение одного испытания .
Соответственно, из первого уравнения системы (2.37) получим:
где 
Подставляя 
в граничное условие , приходим к соотношению: 
.
Отсюда 
( 2.39 )
Таким образом, оптимальные уровни вероятности отказа пропорциональны удельным затратам 
и заданным требованиям к вероятности отказа системы 
.
Заметим, что предположение о постоянстве , принятое выше, может не выполняться при создании единичных КА, затраты на разработку и экспериментальную отработку которых, существенно превышают затраты на изготовление и применение этих комплексов. Они составляют до 70% от общих затрат на всю программу. В этом случае решение должно быть уточнено.