Общий подход
Задача проверки гипотезы заключается в определении критической области максимальной мощности при заданной вероятности ошибки первого рода
. Очевидно, при этом мы будем иметь минимальную вероятность ошибки второго рода
.
При проверке простой гипотезы против простой альтернативы
эта задача сводится к выбору критической области
, максимизирующей выражение (3.4.), которое в интегральной записи имеет вид
, (3.4)
где - функция правдоподобия при гипотезе
(i=0, 1).
При решении задачи требуется, чтобы область удовлетворяла условию
(3.5)
Очевидно, выражение (3.5) можно записать так:
Таким образом, надо выбрать так, чтобы максимизировать математическое, ожидание отношения
, вычисленное в предположении, что справедлива гипотеза
. Очевидно, это будет выполнено тогда, когда
, удовлетворяя условию (3.5), содержит точки, для которых отношение
принимает наибольшее значение. Следовательно, критическая область
состоит из тех точек пространства
, для которых
. (3.6)
Пример.
Пусть проверяется гипотеза :
против альтернативы
:
, где
- среднее значение нормального распределения
.
Для данного случая
, i=0, 1,
где ,
- выборочное среднее и дисперсия.
Следовательно соотношение (3.6) можно представить в виде
Отсюда
Таким образом, при задании ,
и
наилучшая критическая область определяется только значением выборочного среднего
. Причем если
, то наилучшая критическая область имеет вид
,
если