Погрешностей

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов [48, 49]. Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач. Прежде чем перейти к рассмотрению математических моделей погрешностей измерений, кратко изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t_Q является случайной величиной X(t₀). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис. 4.5). Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.

Рис. 4.5. Вид случайных функций

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t₀ (см. рис. 4.5) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t_Q. Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция

которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) — одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция

значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m_x(t).

Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t'. Для этого используется корреляционная функция — неслучайная функция R(t, t') двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t'-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

На пpaктике часто используется нормированная корреляционная функция

Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t' r(t,t') = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t') = r(t',t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1; 1], т.е. |r(t,t')| < 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.

• Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.

m (t) = m_x = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.

• Для стационарного случайного процесса Дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е. D_x(t) = D_x = const.

• Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t', а только от промежутка t = t' - t, т.е. R(t,t') = R(t). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, т.е. D_x(t) = R(t,t) = R(t = 0) = const.

Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала tявляется единственным существенным условием стационарности случайного процесса.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(w), которая описывает частотный состав случайного процесса при w > О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S(w) ³0. Площадь, заключенная под кривой S(w), пропорциональна дисперсии процесса.

Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Для эргодического стационарного случайного процесса его математическое ожидание может быть определено из выражения

Достаточным условием выполнения этого равенства — эргодичности стационарного случайного процесса X(t) по математическому ожиданию — является выполнение условия

Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле

Достаточным условием выполнения этого равенства — эргодичности стационарного процесса X(t) по дисперсии — является

, где R_Y(t) — корреляционная функция стационарного случайного процесса Y(t) = [X(t)]² .

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле

Достаточным условием выполнения последнего равенства — эргодичности стационарного процесса X(t) по корреляционной функции — является

, где R_Z(t) — корреляционная функция стационарного случайного процесса Z (t, q) = X(t) X(t + q).

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения Д(1) следует представлять [7, 58] в виде суммы нескольких составляющих:

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.̊

Систематическая составляющая D̊(t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфра-низкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность \(t) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая D̊(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: D̊_0в(t) и D̊_0н(t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами — высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.

Составляющая D̊₀ является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины D̊_0в(t) и D̊₀ могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию D̊(t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде

Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

• применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

• большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.

При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа — задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик — погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик — статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.

Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:

• СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;

• границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).

Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".