Систематических погрешностей
Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями:
• устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключающие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устранить систематические погрешности не путем обработки экспериментальных данных, а применением СИ, реализующих соответствующие методы измерений;
• определением поправок и внесением их в результат измерения;
• оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.
Постоянная систематическая погрешность не может быть найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не искажает ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности. Действительно, результат одного измерения
где хи — истинное значение измеряемой величины; Di — i-я случайная погрешность; qi — i-я систематическая погрешность.
После усреднения результатов многократных измерений получаем среднее арифметическое значение измеряемой величины
Если систематическая погрешность постоянна во всех измерениях, т.е.
qi = q, то
Таким образом, постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях.
Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.
Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.
Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы:
• Метод замещения, представляющий собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное решение задачи. Для его реализации необходимо иметь регулируемую меру, величина которой однородна измеряемой. Например, взвешивание по методу Борда [3], измерение сопротивления посредством моста постоянного тока и мер сопротивления [51].
• Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Например, способ взвешивания Гаусса [3].
Пример 5.1. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста методом противопоставления.
Сначала измеряемое сопротивление Rx уравновешивают известным сопротивлением R1, включенным в плечо сравнения моста. При этом Rx = R1R3/R4, где R3, R4 — сопротивления плеч моста. Затем резисторы Rx и R1 меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопротивление резистора R1. В этом случае Rx = R¢1R3/R4.
Из двух последних уравнений исключается отношение R3/R4. Тогда
Rx = /R7RT 
.
• Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками.
Пример 5.2. Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имеющим паразитную термоЭДС.
При выполнении одного измерения получаем ЭДС E1. Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание — получаем значение Е2. Если термоЭДС дает погрешность DЕ и Е1 =ЕХ + DЕ, то Е2 = ЕХ - DЕ. Отсюда Ех= (Е1 + Е2)/2. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термоЭДС, устранена.
• Метод рандомизации — наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.
Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы.
• Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков "—" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков "+" и "-" у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность.
• Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.
• Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет вид y = kx + y0, где х, у — входная и выходная величины преобразователя; k — коэффициент, погрешность которого изменяется во времени по линейному закону; у0 — постоянная.
Для устранения систематической погрешности трижды измеряется выходная величина у через равные промежутки времени Dt. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подается сигнал х0 от образцовой меры. В результате измерений получается система уравнений:
Ее решение позволяет получить значение х, свободное от переменной систематической погрешности, обусловленной изменением коэффициента k:
• Специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др. Рассмотрим подробнее некоторые из них.
Способ последовательных разностей (критерий Аббе). Применяется для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами: обычным
и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (хi+1 - xi)2
Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то s2[х] дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на s2[х] влияют вариации х . В то же время изменения центра группирования х весьма мало сказываются на значениях последовательных разностей di = (хi+1 - xi), поэтому смещения х̅ почти не отразятся на значении Q2[x].
Отношение v = Q2[x]/s2[x] является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как P(v < vq) = q, где q = 1- Р — уровень значимости, Р — доверительная вероятность. Значения vq для различных уровней значимости q и числа наблюдений п приведены в табл. 5.1. Если полученное значение критерия Аббе меньше v при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.
Таблица 5.1
Значения критерия Аббе vq
| n | Vq при q, равном | n | Vq при q, равном | ||||
| 0.001 | 0.01 | 0,05 | 0,001 | 0.01 | 0,05 | ||
| 0,295 | 0,313 | 0,390 | 0,295 | 0,431 | 0,578 | ||
| 0.208 | 0,269 | 0,410 | 0,311 | 0,447 | 0,591 | ||
| 0,182 | 0,281 | 0,445 | 0.327 | 0.461 | 0,603 | ||
| 0,185 | О.ЗОТ | 0,468 | 0,341 | 0.474 | 0,614 | ||
| 0,202 | 0,331 | 0.491 | 0,355 | 0,487 | 0,624 | ||
| 0,221 | 0,354 | 0,512 | 0,368 | 0,499 | 0.633 | ||
| 0,241 | 0,376 | 0,531 | 0,381 | 0.510 | 0,642 | ||
| 0.260 | 0,396 | 0,548 | 0,393 | 0,520 | 0,650 | ||
| 0,278 | 0,414 | 0,564 |
Пример 5.3. Испольая способ последовательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблюдений, приведенных во втором столбце табл. 5.2.
Таблица 5.2
Результаты наблюдений
| n | xi | di = xi+1 - xi | d2i | vi = xi - x̅ | v2i |
| 13,4 | - | - | -0,6 | 0,36 | |
| 13,3 | -0,1 | 0,01 | -0,7 | 0,49 | |
| 14,5 | +1,2 | 1,44 | +0,5 | 0,25 | |
| 13,8 | -0,7 | 0,49 | -0,2 | 0,04 | |
| 14,5 | +0,7 | 0,49 | +0,5 | 0,25 | |
| 14,6 | +0,1 | 0,01 | +0,6 | 0,36 | |
| 14,1 | -0,5 | 0,25 | +0,1 | 0,01 | |
| 14,3 | +0,2 | 0,04 | +0,3 | 0,09 | |
| 14,0 | +0,3 | 0,09 | 0,0 | 0,0 | |
| 14,3 | +0,3 | 0,09 | +0,3 | 0,09 | |
| 13,2 | -1,1 | 1,21 | -0,8 | 0,64 | |
| å 1154,0 | -0,2 | 4,12 | 0,0 | 2,58 |
Для приведенного ряда результатов вычисляем: среднее арифметическое х̅ = 154,0/11 = 14; оценку дисперсии s2[х] = 2,58/10 = 0,258; значение Q2[x] = 4,12/(2×10) = 0,206; критерий Аббе v = 0,206/0,258 = 0,8.
Как видно из табл. 5.1, для всех уровней значимости (q = 0,001; 0,01 и 0,05) при n = 11 имеем v > vq, т.е. подтверждается нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования. Следовательно, условия измерений для приведенного ряда оставались неизменными и систематических расхождений между результатами наблюдений нет.
Дисперсионный анализ (критерий Фишера). В практике измерений часто бывает необходимо выяснить наличие систематической погрешности результатов наблюдений, обусловленной влиянием какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое смещение результатов измерений. В данном случае проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа еерий, каждая из которых соответствует определенным (пусть неизвестным, но различным) значениям влияющего фактора. Влияющими факторами, по которым производится объединение результатов наблюдений по сериям, могут быть внешние условия (температура, давление и т.д.), временная последовательность проведения измерений и т.п.
После проведения N измерений их разбивают на s серий (s > 3) по nj результатов наблюдений (snj = N) в каждой серии и затем устанавливают, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в различных сериях. При этом должно быть установлено, что результаты в сериях распределены нормально. Рассеяние результатов наблюдений в пределах каждой серии отражает только случайные влияния, характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии.
Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий результатов наблюдений, вычисленных раздельно для каждой серии, т.е.
где - результат i-го измерения в j-й серии.
Внутрисерийнаядисперсия s2вс характеризует случайные погрешности измерений, так как только случайные влияния обусловливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на которых она основана. В то же время рассеяние Xj различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Следовательно, усредненная межсерийная дисперсия
где 
, выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.
Таким образом, 
характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а 
— долю дисперсии, обусловленную межсерийными различиями результатов наблюдений.
Первую из них называют коэффициентом ошибки, вторую — показателем дифференциации. Чем больше отношение показателя дифференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее действие фактора ло которому группировались серии, и тем больше систематическое различие между ними.
Критерием оценки наличия систематических погрешностей в данном случае является дисперсионный критерий Фишера 
. Критическая область для критерия Фишера соответствует P(F > Fq) = q.
Значения Fq для различных уровней значимости q, числа измерений N и числа серий s приведены в приложении 1, где k2= N—s, k1 = s — 1. Если полученное значение критерия Фишера больше Fq (при заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии систематических смещений результатов наблюдений по сериям отвергается, т.е. обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты наблюдений.
Пример 5.4. Было сделано 38 измерений диаметра детали восемью различными штангенциркулями. Каждым из них проводились по пять измерений. Внутрисерийная дисперсия равна 0,054 мм2, межсерийная — 0,2052 мм2. Оп-ределить наличие систематической погрешности измерения диаметра детали.
Расчетное значение критерия Фишера F = 0,2052/0,054 = 3,8. Для s-1 =
= 7, N-s = 30 по табл. П1.3 приложения 1 имеем при q = 0,05 F0,05 = 2,3 и при q = 0,01 F0,01 = 3,3. Полученное значение F больше, чем 2,2 и 2,9. Следовательно, в результатах наблюдений обнаруживается наличие систематических погрешностей.
Из всех рассмотренных способов обнаружения систематических погрешностей дисперсионный анализ является наиболее эффективным и достоверным, так как позволяет не только установить факт наличия погрешности, но и дает возможность проанализировать источники ее возникновения.
Критерий Вилкоксона. Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то для обнаружения систематической погрешности применяют статистический критерий Вилкоксона.
Из двух групп результатов измерений х1, х2,..., хn и у1, у2,..., уm, где n ³ m ³ 5, составляется вариационный ряд, в котором все n+m значений х1, х2,..., хn; у1, у2,…уm располагают в порядке их возрастания и приписывают им ранги — порядковые номера членов вариационного ряда. Различие средних значений каждого из рядов можно считать допустимым, если выполняется неравенство
где R; — ранг (номер) члена xi, равный его номеру в вариационном ряду; Tq- и Тq+ — нижнее и верхнее критические значения для выбранного уровня значимости q. При m < 15 эти критические значения определяются по табл. 5.3. При m >15 они рассчитываются по формулам:
где zp— квантиль нормированной функции Лапласа.
Таблица 5.3
Критические значения Tq- и Тq+ при q = 0,005 и 0,01
| n | m | q = 0,05 | q = 0,01 | ||
| Tq- | Тq+ | Tq- | Тq+ | ||
| 9 15 | |||||
Более полная таблица значений критических значений Tq- и Тq+ приведена в рекомендации МИ 2091-90 "ГСИ. Измерения физических величин. Общие требования".
Исключение систематических погрешностей путем введения поправок. В ряде случаев систематические погрешности могут быть вычислены и исключены из результата измерения. Для этого используются поправки. Поправка Сj —величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения хi = х¢i + qj + Cj с целью исключения составляющих систематической погрешности qj. При Cj = - qj j-я составляющая систематической погрешности полностью устраняется из результата измерения. Поправки определяются экспериментально или в результате специальных теоретических исследований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул. Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих в результат измерения приходится вводить множество поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок случайные погрешности результата измерения накапливаются и его дисперсия увеличивается. Так как поправка известна с определенной точностью, то она характеризуется статистически — средним значением поправки С и СКО Sc. При исправлении результата х¢j путем введения поправок Cj, где j=l, 2,..., m, по формуле
дисперсия исправленного результата
где S2н — оценка дисперсии неисправленного результата; Scj2 — оценка дисперсии j-й поправки. Как видно, с одной стороны, уточняется результат измерения, а с другой — увеличивается разброс за счет роста дисперсии. Следовательно, необходимо найти оптимум.
Пусть при измерении постоянной величины Q получено (рис.5.1) значение Q =х̅' ± tpS , где х̅'— оценка среднего арифметического неисправленного результата измерений; tp — коэффициент Стьюдента.
Рис.5.1. Устранение систематической погрешности путем
введения поправки
После введения поправки С ± tpSc результат измерения
где 
Максимальные доверительные значения погрешности результата измерения до и после введения поправки равны соответственно
Поправку имеет смысл вводить до тех пор, пока D1 < D2. Отсюда следует, что
Если SC/S << 1, то, раскладывая уравнение в степенной ряд, получим С > 0,5 S2c / S2. Из этого неравенства видно, что если оценка среднего квадратического отклонения поправки Sc ® 0, то поправку имеет смысл вводить всегда.
В практических расчетах погрешность результата обычно выражается не более чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц младшего разряда, следующего за последним десятичным разрядом погрешности результата, все равно будет потеряна при округлении и вводить ее не имеет смысла.
Пример 5.5. Напряжение источника ЭДС Ux с внутренним сопротивлением rj = 60±10 Ом измерено вольтметром класса точности 0,5. Сопротивление вольтметра Rv =5 кОм и известно с погрешностью ±0,5% . Показание вольтметра Uv = 12,35 В. Найти поправку, которую нужно внести в показание прибора для определения действительного значения напряжения источника ЭДС.
Показания вольтметра соответствуют падению напряжения на нем:
Относительная систематическая методическая погрешность, обусловленная ограниченным значением сопротивления Rv,
Поправка равна абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком:
Dc = 0,012×12,35 = 0,146 В. Погрешность полученного значения поправки определяется погрешностью, с которой известно сопротивление Ri. Ее предельное значение составит 10/60 = 0,167. Погрешностью из-за неточности оценки Rv, равной 0,005, можно пренебречь. Следовательно, погрешность определения поправки D = ±0,167×0,146 » 0,03 В.
Таким образом, поправка, которую необходимо ввести в показания вольтметра с учетом округления DU = + 0,15 В. Тогда исправленное значение
U¢x = 12,35 + 0,15 = 12,50 В. Этот результат имеет определенную погрешность, в том числе неисключенный остаток систематической погрешности D = ± 0,03 В или d = ± 0,24% из-за потребления некоторой мощности вольтметром.
Контрольные вопросы
1. Что такое систематическая погрешность? Приведите примеры.
2. Дайте определение исправленного результата измерений.
3. Каким образом классифицируются систематические погрешности?
4. Назовите способы выявления постоянных систематических погрешностей.
5. Назовите способы выявления переменных систематических погрешностей.
6. В чем состоит суть критерия Аббе?
7. Что такое дисперсионный анализ и как он применяется для устранения систематических погрешностей?
8. Как обнаружить систематическую погрешность при помощи критерия Вилкоксона?
9. Каким образом оценивается целесообразность введения поправки для устранения систематической погрешности?