Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.

Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера

Прямая L₁ есть касательная к истинной кривой y=y(x) в точке (x_m, y_m). Ее наклон к оси OX равен углу , для которого

или в силу (7.2):

Прямая L₂ есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке , являющейся пересечением L₁c прямой x = x_m₊₁. Наклон L₂ равен углу , для которого

Прямая проходит через точку , а ее угол наклона равен , для которого

или .

Прямая L параллельна и проходит через точку (x_m, y_m), а ее пересечение с x = x_m₊₁ как раз и определяет окончательное значение y_m₊₁.

Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение функции y(x) в точке x_m₊₁ по методу Эйлера:

(7.7)

а затем оно используется для вычисления , т.е. приближенного значения производной в конце интервала (x_m_,x_m₊₁):

Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f(x_m, y_m) в начале интервала, найдем более точное значение y_m₊₁:

(7.8)

Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.