Построение статистических моделей

Случайные погрешности проявляются в том, что повторные измерения одной и той же величины, казалось бы в одних и тех же условиях, приводят к результатам, отличающимся один от другого. При исследовании случайных погрешностей используется аппарат математической статистики и теории вероятностей, решающих две группы задач:

1) проверка статистических гипотез

– о соответствии эмпирической функции распределения выбранной теоретической;

– о промахах;

2) обработка результатов наблюдений при различных видах измерений:

– при прямых однородных;

– косвенных;

– совместных;

– корреляционно связанных.

В настоящей работе ставится задача проверки перечисленных статистических гипотез при прямых равноточных измерениях.

Результаты наблюдения входного сопротивления исследуемой цепи, собранной из серийно изготовленных резисторов, могут быть получены двумя
путями:

выборочными измерениями входных сопротивлений электрических цепей, собранных из серийно изготовленных резисторов;

методом статистических испытаний (математическим моделированием действительных значений сопротивлений резисторов цепи в пределах допускаемых отклонений от номинальных с последующим вычислением входных сопротивлений).

В настоящей работе предлагается второй путь. При этом принимается во внимание, что распределение действительных значений сопротивлений резисторов в границах допускаемых отклонений изменяется по равномерному закону распределения. Разыгрывается по 60 моделей каждого из резисторов исследуемой цепи.

Для составления моделей можно использовать равнораспределенные случайные числа в интервале [0;1]. Так как интервалы, в которых моделируются характеристики, отличны от [0;1], то необходимо произвести некоторые преобразования над случайными числами.

Закон равномерного распределения (см. рис. 3.7) аналитически записывается в виде:

(3.77)

где b, a - границы допускаемого отклонения сопротивления резистора от номинального значения (максимальное и минимальное значения возможного разброса параметра).

Рис. 3.7. Плотность равномерного распределения

Функция распределения для равномерного закона на интервале [a, b]

(3.78)

где – значения сопротивления в интервале [a, b] с равномерным законом распределения.

Из выражения (3.78) можно вычислить x_i:

(3.79)

где – случайные числа в интервале [0; 1] (табл. 3.9).

Для определения модели входного сопротивления следует воспользоваться аналитическим выражением для расчета входного сопротивления исследуемой схемы замещения.

По полученным статистическим моделям параметров резисторов и входного сопротивления цепи строятся гистограммы. Шаг интервала гистограммы определяется в соответствии с формулой Стэджеса:

(3.80)

где и – максимальное и минимальное значения моделей каждого из параметров;

n – число моделей.

За начало каждого интервала рекомендуется принимать величину ; начало второго интервала совпадает с концом первого: ; начало третьего – с концом второго: . Построение интервалов продолжают до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет больше .

После установления шкалы интервалов следует сгруппировать результаты моделей. В интервал включаются данные, большие или равные нижней границе интервала и меньшие верхней границы. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется выражением:

(3.81)

где – число моделей, попадающих в каждый интервал.