Метод сопряженных градиентов
Метод сопряженных градиентов (МСГ) первоначально предложен как метод минимизации квадратичной формы
(5.9.1)
где – симметричная и строго положительно определенная
матрица (в дальнейшем эти свойства матрицы будем обозначать
). Для минимизации произвольных функций метод сопряженных градиентов записывается в виде
(5.9.2)
Векторы называются сопряженными относительно матрицы
или
- ортогональными, если они удовлетворяют условиям
(5.9.3)
Задача минимизации квадратичной формы (5.9.1) может быть решена за цикл точной одномерной минимизации вдоль сопряженных векторов
, из произвольной начальной точки
.
Если метод (5.9.2) применяется для квадратичной функции (5.9.1), где , то векторы
, где
, будут сопряженными.
Теорема 9. Метод (5.9.2) находит точку минимума квадратичной функции вида (5.9.1), где
, за число итераций не превосходящее
.
При минимизации достаточно гладких функций МСГ сходится с квадратичной скоростью.
Теорема 10. Пусть -невырожденная точка минимума, и в ее окрестности
удовлетворяет условию Липшица. Тогда для метода (5.9.2) в окрестности
справедлива оценка:
.
Вследствие ошибок округления процесс (5.9.2), даже для квадратичной функции, не будет конечным. Особенно процесс (5.9.2) чувствителен к точности операции определения минимума вдоль направления. В связи со сказанным выше итерации (5.9.2) проводят до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, а обновление проводится, особенно для большеразмерных задач, через m итераций, где
. МСГ применяется в основном для решения большеразмерных задач в силу малой требуемой памяти для хранения параметров метода.