Вариационная постановка
Постановка задачи
МКЭ для двумерной краевой задачи для эллиптического уравнения в полярной 
системе координат. Базисные функции билинейные на прямоугольниках. Краевые условия всех типов. Коэффициент диффузии 
разложить по биквадратичным базисным функциям. Матрицу СЛАУ генерировать в разреженном строчном формате. Для решения СЛАУ использовать МСГ или ЛОС с неполной факторизацией.
Решаемое уравнение
-div( 
grad 
)+ 
задано в некоторой области 
с границей 
.
В полярной системе координат:
.
Краевые условия
, 
,
Расчетная область
Расчётная область разбивается на прямоугольники, содержащие по четыре узла.
Локальная нумерация выглядит следующим образом:
Теоретическая часть
Вариационная постановка
Запишем для исходной краевой задачи эквивалентную вариационную постановку в форме уравнения Галёркина, для этого правую и левую часть исходного уравнения домножим на функцию 
из пространства пробных функций 
и проинтегрируем по 
:
(-div( grad )+ 
.
Преобразуем полученное уравнение с использованием формулы Грина:
- 
.
Воспользовавшись краевыми условиями преобразуем интегралы:
- 
.
В качестве 
выберем 
пространство пробных функций 
, которые на границе S1 удовлетворяют нулевым первым краевым условиям. При этом будем считать, что 
, где 
множество функций, имеющих суммируемые с квадратом первые производные и удовлетворяющих только первым краевым условиям на границе S1:
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
. (1.1)