Вариационная постановка
Постановка задачи
МКЭ для двумерной краевой задачи для эллиптического уравнения в полярной системе координат. Базисные функции билинейные на прямоугольниках. Краевые условия всех типов. Коэффициент диффузии
разложить по биквадратичным базисным функциям. Матрицу СЛАУ генерировать в разреженном строчном формате. Для решения СЛАУ использовать МСГ или ЛОС с неполной факторизацией.
Решаемое уравнение
-div(
grad
)+
задано в некоторой области с границей
.
В полярной системе координат:
.
Краевые условия
,
,
Расчетная область
Расчётная область разбивается на прямоугольники, содержащие по четыре узла.
Локальная нумерация выглядит следующим образом:
Теоретическая часть
Вариационная постановка
Запишем для исходной краевой задачи эквивалентную вариационную постановку в форме уравнения Галёркина, для этого правую и левую часть исходного уравнения домножим на функцию из пространства пробных функций
и проинтегрируем по
:
(-div(
grad
)+
.
Преобразуем полученное уравнение с использованием формулы Грина:
-
.
Воспользовавшись краевыми условиями преобразуем интегралы:
-
.
В качестве выберем
пространство пробных функций
, которые на границе S1 удовлетворяют нулевым первым краевым условиям. При этом будем считать, что
, где
множество функций, имеющих суммируемые с квадратом первые производные и удовлетворяющих только первым краевым условиям на границе S1:
+
+
=
+
+
. (1.1)