Пример. Переставим местами два первых уравнения
Переставим местами два первых уравнения
Составим расширенную матрицу системы
Первую строку умножим на «–2» и сложим со второй строкой.
Первую строку умножим на «–1» и сложим с третьей строкой.
Получаем матрицу:
Вторую строку умножим на «–1» и сложим с третьей:
Этой матрице соответствует система уравнений:
Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
§ 1. Векторы. Основные понятия
 |
Вектор – направленный отрезок (рис.1).
Рис. 1 
Если точка 
– начало вектора, точка 
– конец вектора, то координаты вектора 
.
Вектор 
записывают также через единичные Рис. 1
векторы осей 
: 
(на плоскости) (рис. 2), 
(в пространстве).
Пусть 
, тогда
. (1)
Расстояние между точками 
и 
:
(2)
(2')
Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ:
(3)
Длина вектора : 
(4)
(4')
§ 2. Скалярное произведение векторов
Определение. 
. (5)
Если 
, то
(6)
Из формулы (5) имеем угол между векторами и 
:
(7)
Проекция вектора на вектор
Физический смысл скалярного произведения
Пусть материальная точка 
движется по прямой от точки до точки , проходя при этом путь 
.
Допустим, что на точку действует сила 
, постоянная по величине и направлению и составляющая с направлением перемещения точки угол 
.
Из физики известно, что работа , совершаемая при этом силой на участке 
равна 
, где 
, или 
.
Свойства:
1) 
,
2) 
,
3) если 
, то 
Замечание:
а) || 
или 
.
б) 
или 
.
§ 3. Векторное произведение векторов
Определение. 
– вектор, удовлетворяющий трем условиям:
1) 
,
2) 
,
3) 
образуют правую тройку, то есть, если смотреть из конца 
, то кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (рис. 3).
Замечание: Если вектор 
изображает силу, приложенную к точке А, а вектор направлен из некоторой точки О в точку А, то вектор 
представляет собой момент силы 
относительно точки О: 
(8)
Свойства:
1) 
,
2) 
, если 
, либо 
, либо || ,
3) 
,
4) 
.
Если известны координаты векторов, то
(9)
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
– площадь треугольника (10)
§ 4. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов 
называют число, равное 
. Обозначают также 
.
Если известны координаты векторов, то
Объем пирамиды равен 
(11)