Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
Пусть функция
определена на отрезке
Произведем разбиение (см. Р5)
отрезка на частичные отрезки
и выберем произвольно точки
Вычислим значения
и составим так называемую интегральную сумму
Определение 3.Если существует конечный предел интегральных сумм:
и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек
то его называют определенным интегралом отфункции
на отрезке
Обозначение:
При этом саму функцию
называют интегрируемой на отрезке
(заметим, что число называется диаметром разбиения
).
Пусть теперь функция По разбиению
строится ступенчатая фигура (см. Р6), состоящая из прямоугольников
высоты
и длиной основания, равной
Площадь этой ступенчатой фигуры (достройте ее самостоятельно) равна интегральной сумме
и эта площадь будет приближенно равна площади криволинейной трапеции[2]
т.е.
причем это равенство будет тем точнее, чем меньше диаметр разбиения
и оно становится точным при
Мы пришли к следующему геометрическому смыслу определенного интеграла:
интеграл численно равен площади
криволинейной трапеции
с верхней границей, описываемой уравнением
Замечание 3. В определении 3 интеграла предполагается, что отрезок интегрирования ориентирован от
до
(т.е.
). В случае противоположной ориентации отрезка
(т.е. при ) полагаем по определению
Также полагаем по определению, что
Перейдем к формулировке свойств определенного интеграла.
Ограниченность подынтегральной функции.Если функция интегрируема на отрезке
то она ограничена на этом отрезке (т.е.
).
Линейность интеграла.Если функции и
интегрируемы на отрезке
то на этом отрезке интегрируема и любая их линейная комбинация
и имеет место равенство
Аддитивность интеграла.Если функция интегрируема на максимальном из отрезков
то она интегрируема и на двух других отрезках, причем имеет место равенство
Далее везде предполагаем, что
Монотонность интеграла.Если функции и
интегрируемы на отрезке
и
то
Интегрируемость модуля.Если функции интегрируема на отрезке
то на этом отрезке интегрируема и функция
причем имеет место неравенство
Теорема о среднем для интеграла.Пусть функция непрерывна на отрезке
Тогда существует точка
такая, что
(геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует прямоугольник с основанием
и высоты
равновеликий криволинейной трапеции
).
Доказательство.Пусть (по теореме Вейерштрасса значения
и
функцией
достигаются). Имеем
поэтому из свойства монотонности интеграла отсюда получаем
Последние неравенства показывают, что значение является промежуточным для функции
на отрезке
а, значит, по теореме Больцано-Коши существует
такое, что
Теорема доказана.
Рассмотрим ещё несколько примеров, которые демонстрируют простейшие приемы интегрирования.
[1] Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобкахбудем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.
[2] На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и