Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Арифметические действия над производными
Теорема 4.Если функции дифференцируемы в точке
то в этой точке дифференцируемы и функции
причем
(врассматриваемой точке
).
Если, кроме того, то в точке
дифференцируемо и частное, причем
Доказательство проведем для производной суммы. Имеем поэтому
Теорема доказана.
Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными.
Теорема 5.Пусть сложная функция определена в точке
и некоторой ее окрестност и пусть выполнены условия:
1. функция дифференцируема в точке
2. функция дифференцируема в соответствующей точке
Тогда сложная функция дифференцирума в точке
и имеет место равенство
Напомним следующие понятия:
а) Функция называется обратимой на множестве
если
При этом функция сопоставляющая каждому
элемент
такой, что
называется функцией, обратной к
Очевидно, имеют место тождества:
Заметим, что все строго монотонные на множестве функции обратимы на
б) Говорят, что функция задана параметрически уравнениями
если функция
обратима на отрезке
В этом случае
где
функция, обратная к функции
Теорема 6.Пусть функцияв некоторой окрестности точки
имеет обратную функцию
Пусть, кроме того, функция
дифференцируема в точке
и
Тогда обратная функция
дифференцируема в соответствующей точке
и имеет место равенство
Теорема 7.Пусть функция задана параметрически уравнениями
и пусть выполнены условия:
1) функции дифференцируемы в фиксированной точке
2) в рассматриваемой точке
Тогда функция дифференцируема в точке
и имеет место равенство