Пример 1. Для двух предприятий выделено a единиц средств
Для двух предприятий выделено a единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от x единиц средств, вложенных в первое предприятие, равен f1(x), а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие, равен f2(y). Остаток средств к концу года составляет g1(x) для первого предприятия и g2(y) для второго предприятия.
a=1000, f1=3х, g1=0,1х; f2=2у; g2= 0,5y.
РЕШЕНИЕ. Процесс распределения средств разобьем на 4 этапа – по соответствующим годам.
Обозначим ak = xk + yk – средства, которые распределяются на k –ом шаге как сумма средств по предприятиям.
Суммарный доход от обоих предприятий на k –ом шаге:
zk = f1(xk) + f2(ak − xk) = 3xk + 2(ak − xk) = 2ak + xk .
Остаток средств от обоих предприятий на k –ом шаге:
ak+1 =g1(xk)+ g2(ak –xk) =0,1xk +0,5(ak –xk) =0,5ak –0,4xk .
Обозначим z*k (ak) – максимальный доход, полученный от распределения средств ak между двумя предприятиями с k-го шага до конца рассматриваемого периода.
Рекуррентные соотношения Беллмана для этих функций
z*4(a4)= 
a4+ x4},
z*k(ak)= 
ak + xk + z*k+1(0,5ak – 0,4xk)}.
Проведем оптимизацию, начиная с четвертого шага:
Й шаг.
Оптимальный доход равен:
z*4(a4 )= a4+ x4}= 3a4 ,
т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при x4= a4.
Й шаг.
z*3(a3)= 
a3+ x3 + 3(0,5a3– 0,4x3)}= 
a3– 0,2x3)}= 
a3
т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x3= 0.
Й шаг.
z*2(a2)= 
a2+ x2 + 3.5(0,5a2– 0,4x2)}= 
a2– 0,4x2)}= 
a2 ,
т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x2=0.
Й шаг.
z*1(a1)= 
a1+ x1+ 3.75(0,5a1– 0,4x1)}= 
a1– 0,5x1)}= 
a1,
т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при x1=0.
Результаты оптимизации:
z*1(a1)= 3,875a1, x*1 =0,
z*2(a1)= 3,75a2, x*2 =0,
z*3(a3)= 3,5a3, x*3 =0,
z*4(a4)= 3a4, x*4 = a4.
Определим количественное распределение средств по годам:
Т.к. a1=a=1000, x*1=0, получаем a2=0.5a1– 0.41x*1=500. Далее аналогично:
x*2=0, a3= 0.5a2–0.4 x*2=250,
x*3=0, a4= 0.5a3−0.4 x*3=125,
x*4= a4=125.
Представим распределение средств в виде таблицы:
| предприятие | год | |||
При таком распределении средств за 4 года будет получен доход, равный
z*1(a1)= 3,875 ·1000= 3875 .