Тема: Похідні вищих порядків. Диференціал функції.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Методичні вказівки

для виконання практичних робіт

з дисципліни “Вища математика”

для студентів за спеціальностями

6.092602 “Гідромеліорація“ та

6.092102 “Промислове та цивільне будівництво“

Херсон – 2012

УДК 512(07); 514(07); 517(07)

Степаненко Н.В., Григоренко В.В. Методичні рекомендації щодо вивчення навчального модуля з дисципліни «Вища математика» із застосуванням кредитно-модульної системи організації навчального процесу – Херсон, ХДАУ, РВЦ «Колос», 2012 р.

Методичні вказівки до проведення практичних занять з дисципліни

Вища математика

Затверджено на кафедрі вищої математики Херсонського державного аграрного університету. Протокол № 1 від 26.01.2012 р.

Рекомендовано до друку методичною комісією Економічного факультету Херсонського державного аграрного університету.

Протокол №_1 від 24.01.2012 р.

Рецензент: доктор технічних наук, професор Марасанов В.В.

Методичні рекомендаціїпризначені для підготовки, оформлення та викладання дисципліни «Вища математика» за кредитно-модульною системою в навчальному процесі.

© Григоренко В.В., 2012

©

Заняття 1.

Тема: Похідна функції. Основні поняття.

Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:

у′ = .

Знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Похідну функції позначають y′ або , або f′(x).

Властивості (правила знаходження) похідної:

1) (Cu)′ = Cu′ ;

2) (u+v-w)′ = u′+v′-w′ ;

3) (uv)′ = u′v+uv′ ;

4)

Таблиця похідних основних елементарних функцій :

1) (С)′ = 0 , (С = const);

2) (х)′ = 1;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) (e^x)′ = e^x ;

8) ;

9) ;

10) (sin x )′ = cos x ;

11) (cos x )′ = - sin x ;

12) (tg x)′ = ;

13) (ctg x)′ = - ;

14) (arctg x)′ = ;

15) (arcctg x)′ = - ;

16) (arcsin x)′ = ;

17) (arccos x)′ = - .

Приклади:

Знайти похідні функцій:

1.

2.

3.

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідні функцій:

1) y = 2х^{3 _} 5х² + 7х - 12;

2) y = х - х² + х³ - х⁴;

3) y = 2 - + 8;

4) y = 6 + 5 - 7 ;

5) y = tgx – ctgx ;

6) y = + - ;

7) y = (х² – 2х + 6) ;

8) y = (8х⁵ – 3х + х⁴) ;

9) y = ;

10) y = ;

11) y = ( - ;

12) у = ;

13) у = ;

14) у = x² ;

15) у = х arctg х .

16) у = arctg x ;

17) у = ;

18) у = ;

19) у = ;

20) у = х³ ( - 4) .

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

1) у = х⁴ – 4х⁶ + 9х⁵ + 2х⁷ – 2х – 42 ;

2) у = - + ;

3) у = 15 - 3 + + ;

4) у = - - + 0,75 ;

5) у = ;

6) у = (х² – 3х + 3)(х² +2х – 1) ;

7) у = ;

8) у = ;

9) у = ;

10) у=(2х³+3)arccosx.

Заняття 2

Тема: Похідна складної функції.

Якщо у = f(u) і u = (х) – диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції від функції (або складної функції) у = f( (x)) існує і дорівнює добутку похідної даної функції у по аргументу (х) і похідної (х) по х: у′=f′( (х)) ′(х).

Таблиця похідних складних функцій:

1) (uⁿ)′ = nu^n-1 u;

2) ( ′ = - ;

3) ( )′ = ;

4) ( )′ = ;

5) ( )′ = ;

6) )′ = ;

7) )′ = ;

8) )′ = - u′ ;

9) (tg u)′ =

10) ctg u)′ = - ;

11) (arcsin u)′ = ;

12) (arccos u)′ = - ;

13) (arctg u)′ = ;

14) (arcctg u)′ = - .

Приклад:

Знайти похідну функції у = ;

у′=- =-

- (10х – 3) = - .

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідні функцій:

1) у = ;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = ( )²;

6) у = (2х³ + 3х² + 6х +1)⁴ ;

7) у = ;

8) у = (7 + )³ ;

9) у = ) ;

10) у = ;

11) у = ( + ( )²)³ ;

12) у = ;

13) у = ;

14) у = ;

15) у = ( )⁵ ;

16) y = ( – )⁴;

17) y = ;

18) y = ( + ))⁶ ;

19) y = - ;

20) y=

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

1) у = (2 – 3х)5 ;

2) у = ( )2 ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = ;

6) у = ,

7) у = ( - )⁵ ;

8) у = ;

9) у = х + + ;

10) у = .

Заняття 3

Тема: Похідні неявних функцій і функцій,заданих параметрично. Похідна функції у = .

Функція у(х) називається неявною, якщо залежність між х і у виражена рівнянням F(х;у)= 0, яке не розв’язане відносно у.

Щоб знайти похідну від неявної функції, треба дане рівняння продиференціювати, вважаючи у функцією від х, і одержане рівняння розв’язати відносно похідної у ′. Похідна неявної функції виражається через незалежну змінну х і саму функцію у.

Приклад:

Знайти похідну функції

Якщо функція задана параметрично: , де х(t) і у(t) – диференційовані функції, то її похідна:

Приклад:

Знайти похідну функції

х ′(t) = , у′(t) = 3 - 3 t² = 3(1 – t²) ;

у′(х) = = 3(1 – t²) .

Похідна степенево-показникової функції у = , де u і v – диференційовані функції від х, знаходиться за формулою:

у′ = v u′ +

Приклад:

Знайти похідну функції у = .

у′ = (- ) + = )+ + ) = ( – tg х).

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідні функцій:

1) х² + 5ху + у² – 7 = 0;

2) у² + ху + = 0;

3) + ху – 5 = 0;

4) х⁴ + у⁴ = х²у²;

5) у³ + = 0;

6)

7)

8)

9)

10)

11) у = ;

12) у = ;

13) у = ;

14) у = ;

15) у = .

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

1) х³у³ – 2ху +3 = 0;

2) – arctgу = 0;

3) 2 + tgх - = 0;

4) х = ctg t, у = ;

5)

6) у = ;

7) у = ;

8) у = ;

9) у =

Заняття 4

Тема: Похідні вищих порядків. Диференціал функції.

Похідною другого порядку або другою похідною функції у = f(х) називається похідна від її похідної: у′′ = (f′(х))′ . Позначається: у′′ або f′′(х) або .

За аналогією визначаються і позначаються похідні третього, четвертого і вищих порядків: у′′′, ,…,

Для функції, заданої параметрично, похідна другого порядку знаходиться за формулою: у′′(х) = .

Приклади:

1) Знайти похідну третього порядку функції: у = х² .

у′ = (х² = 2х + х² = 2х + х ;

у′′ = (2х +х)′ = 2 + 2х +1 = 2 + 2 +1 = 2 +3;

у′′′ = (2 +3)′ = 2 = .

2) Знайти похідну другого порядку функції: х = 2 t - , у=8 .

х′(t) = 2 - 2 = 2(1 - ) = 2 2 = 4 ;

х′′(t) = 4 2 = 8 ;

у′(t) = 24

у′′(t) = 24(2 - ) = 24 - =

= 24 ( - 1 + ) = 24 (3 ;

у′′(х) = =

= = = - = - .

3) Знайти , якщо

Знаходимо послідовно першу, другу і третю похідні:

Диференціалом функції у= f(х) називається добуток її похідної на приріст незалежної змінної: dу = у′ або dу = у′dх, так як = dх. Із цієї формули отримуємо, що у′ = f′(х) = .

Приклади:

1. Знайти диференціал функції: у = .

у′ = 3 = 3 ;

dу = 3 dх .

2. Обчислити диференціали першого, другого та третього порядків функції

3. Обчислити наближене значення площі круга, радіус якого рівний 3,02 м.

Скористаємося формулою Покладаючи маємо

І тому наближене значення площі круга складає

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Знайти другу похідну функцій:

1) у = 4х² – 2х + 3;

2) у = ;

3) у = (1 + х²) х;

4) ;

5) х = , у = ;

6)

ІІ. Знайти похідні вказаних порядків:

1) у = х⁵ + 6х² – 5х + 8, у⁽⁵⁾ - ?

2) у = , у′′′ - ?

3) y = x² , y⁽⁴⁾ - ?

4) y = , y′′ - ?

5) y = , y⁽⁵⁾ - ?

ІІІ. Знайти диференціали функцій:

1) у = arcctg4х;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = .

Домашнє завдання:

І. Знайти похідні вказаних порядків:

1) у = х⁵ – 4х⁴ + 2х³ – 3х² + 7х – 9, у⁽⁴⁾ - ?

2) у = , у′′ - ?

3) у = (3х + 10)⁶, у′′′ - ?

4) у = х , у′′ - ?

5) х = t³ + 1, у = t² + t + 1, у′′(х) – ?

6) х = , у = t - arcctg t, у′′(х) – ?

ІІ. Знайти диференціали функцій:

1) у = (х² + 4х + 1)(х² - );

2) у = ;

3) у = ;

4) у = 3х² - 4 + .

Заняття 5

12
• 3
• Далее ⇒