Тема: Напрям угнутості кривої. Точки перегину. Асимптоти кривої.

Графік функції у = f(х) називається вгнутим на проміжку (a ; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.

Графік функції у = f(х) називається опуклим на проміжку (a ; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.

Точкою перегину неперервної кривої називається така її точка М0, при переході через яку крива міняє свою опуклість на вгнутість і навпаки.

Достатня умова опуклості (вгнутості) кривої: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) додатна на проміжку (a ; b), то графік цієї функції вгнутий на цьому проміжку. Якщо друга похідна f′′(х) від’ємна на проміжку (a ; b), то графік функції опуклий на цьому проміжку.

Достатня умова існування точки перегину графіка функції: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) в точці х0 дорівнює нулю і міняє знак при переході через цю точку, то М(х0; f(х0)) – точка перегину графіка цієї функції.

 

Приклад. Знайти інтервали опуклості та вгнутості та точки перегину функції:

у= - 6х5 + х4 + 3х.

Область визначення функції: D(у) = (- ; + ).

Знайдемо похідні даної функції:

у′ = 6х5 – 30х4 + 30х3 + 3;

у′′ = 30х4 – 120х3 + 90х2 = 30х2(х2 – 4х + 3).

Прирівняємо отриману похідну до нуля і розв’яжемо отримане рівняння:

30х2(х2 – 4х + 3) = 0 30х2 = 0 або х2 - 4х + 3 = 0.

Звідси: х1,2 = 0, х3 = 1, х4 = 3.

 

 

+ + – +

0 1 3

 

Отже, графік функції угнутий при х (- ; 1) (3; + ,

графік функції опуклий при х (1; 3).

Точки перегину функції:

у(1) = 1 – 6 + + 3 = 7,5 – 2 = 5,5.

у(3) = 729 – 1458 + 607,5 + 9 = 112,5.

 

Асимптотою кривої називається пряма лінія, до якої необмежено наближається точка цієї кривої при необмеженому віддаленні від початку координат. Асимптоти бувають вертикальні і невертикальні.

Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції у = (х) в точці є нескінченною, тобто (х) = або (х) = , то пряма х = називається вертикальною асимптотою графіка цієї функції.

Пряма у = b є похилою асимптотою кривої у = (х) при х або при х , якщо виконуються умови: k = , b = ( (х) – kх).

На рис. 1,2, і 3 наведені приклади асимптот.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Асимптоти можуть бути похилими і вертикальними.

Якщо і (або) , то пряма є вертикальною асимптотою.

Прикладом вертикальної асимптоти є вісь Oy на рис. 3.

Прикладами похилих асимптот є прямі L на рис. 1 і 2.

Частинним випадком похилої асимптоти є горизонтальна асимптота.

Графік функції має горизонтальну асимптоту у = b, якщо k = 0, b

Приклад: Знайти рівняння асимптот функції: у = .

Область визначення функції: D(у) = (- (-1; + ).

Знайдемо односторонні границі: = = = = = = - .

Отже, пряма х = - 1 є вертикальною асимптотою.

Перевіримо умови існування похилих асимптот:

k = = = ( ) = 1,

b = ( (х) – kх) = ( - х) = = ( ) = 2.

Отже, пряма у = х + 2 є похилою асимптотою даної функції.

 

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:

1) у = х2 – 6х + 7;

2) у = х4 – 6х2 + 5х – 9;

3) у = х6 – 3х4 + 3х2 – 4;

4) у = ;

5) у = .

 

ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:

1) у = ;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = 2х - ;

5) у = .

 

Домашнє завдання:

І.Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:

1) у = 3х2 – 2;

2) у = х3 – 3х2 + 4х – 5;

3) у = х5 – 10х3 + 6х + 2;

4) у = + 3;

5) у = .

 

ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:

1) у = ;

2) у = ;

3) у =

4) у = ;

5) у = .

 

Заняття 8