Свободные колебания в контуре без омического сопротивления
Свободные колебания, которые имеют место при отсутствии внешней ЭДС . , в идеальном контуре без
(4)
омического сопротивления при R. -О, описываются уравнением, следующим из (3) при R - О:
где введено обозначение 
. Пусть в начальный момент времени t = О конденсатор заряжён до некоторой разности потенциалов Um (при заряде на пластинах qm),а ток в цепи отсутствует. Далee емкость начинает разряжаться и в контуре начинает течь ток. Энергия электрического поля в конденсаторе начинает уменьшаться, но возникает всё возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. В момент, когда напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля обращаются в ноль, ток и энергия магнитного поля достигают наибольшего значения. Начиная о этого момента ток уменьшается и течет за счет ЭДС самоиндукции. Когда заряды на обкладках конденсатора достигнут первоначального значения qm , но с противоположными знаками, сила тока станет равной нулю. Затем те же процессы протекают в обратном направлении, после чего система приходит в исходное состояние и весь цикл повторяется снова и снова, представляя собой электрические колебания.
Решением уравнения (4) является функция
(5)
В этом можно убедиться путем подстановки ее в уравнение (4). Отсюда следует, что введенная нами величина w0 представляет собой собственную круговую (циклическую) частоту колебаний. Соответственно для U и I получаем:
(6)
где 
- максимальные значения напряжения и тока, α - начальная фаза колебаний. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой w0 . Для периода колебаний Т ,по истечении которого значения изменяющейся величины периодически повторяются, т. е W0t=2π (см. (6)),· получаем формулу Томсона:
(7)
При этом частота колебаний 
. Сила тока опережает по фазe напряжение и заряд на конденсаторе на 
,т.е. в момент времени, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль, и наоборот. Когда конденсатор заряжен до максимальной разности потенциалов , в
его электрическом поле содержится энергия 
, а ток отсутствует. В момент времени, когда разность потенциалов и энергия электрического поля между обкладками конденсатора равны нулю, ток в контуре максимален и в магнитном поле катушки индуктивности запасена энергия 
. Колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей, при этой в идеальном контуре выполняется закон сохранения энергии:
(8)
и процесс электрических колебаний продолжался бы бесконечно. Под волновым сопротивлением ρ контура понимают индуктивное XL и ёмкостное Χς сопротивления контура току свободных колебаний, которые равны между собой:
