Свободные затухающие колебания в контуре с омическим сопротивлением
Всякий реальный колебательный контур обладает активным (омическим, т. е. с пренебрежимо малыми индуктивностью и емкостью) сопротивлением R . В отсутствие внешней ЭДС (ε =О) энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на его нагревание в соответствии с законом Джоуля-Ленца, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение, описывающее свободные (ε =О) затухающие колебания в контуре с омическим сопротивлением R≠ О получается из (3) и имеет вид:
(9) 
где 
. Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний. При условии 
, т. е..
_ решение (9) имеет вид:
(10)
где - 
частота затухающих колебаний, которая меньше собственной частоты контура w0 Для напряжения на конденсаторе 
имеем
,
а продифференцировав q по времени, можно получить выражение для зависимости силы тока от времени, причем оказывается, что при наличии активного сопротивления сила тока I опережает по фазе напряжение на конденсаторе И более чем на 
. Период колебаний Т равен:
(11)
За время ' 
амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,71..раз. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления, также имеет место колебательный процесс, однако частота колебаний отличается от частоты свободных колебаний и амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. График изменения заряда со временем в этом случае изображен на рис. 2 . Графики для напряжения и
силы тока имеют аналогичный вид. Следует отметить, что решение (10) не является строго периодической функцией, т, к. q(t)≠q(t+T) Говорить о периоде этой функции можно лишь в том смысле, что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени. Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется параметром β , характеризующим соотношение активного сопротивления контура и его индуктивности. На практике, же обычно пользуются другими понятиями, связанными с β логарифмическим декрементом затухания λ и добротностью контура Q .
Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения величины заряда при n-ом колебании к величине q-при n+1- ом колебания:
(12)
Логарифмический декремент затухания связан с числом полных колебаний N , совершаемых pа время Т, зависимостью:
Добротность контура Q определяется через логарифмический декремент затухания Λ следующим образом:
(13)
Иэ данных определений видно, что чем меньше логарифмический декремент затухания, тем выше добротность контура и тем дольше продолжается в таком контуре -колебательный процесс при однократном его возбуждении. При выполнении условия w02-β2=0 решение (9) для заряда q имеет вид
(14)
где а.b- постоянные интегрирования. При любых a и b (см. рис. 3)
величина q- асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. В этом случае процесс не будет колебательным, т. в. является апериодическим ( рис, 3 ). Сопротивление R.*p ,при котором колебательный процесс в контуре переходит в апериодический, называется критическим и определяется из условия w02-β2=0, откуда 
При R>Rkp, w02<β2 апериодический характер процессов в колебательном конту ре сохраняется.