Метод решения неравенства на промежутках
Разбиение ОДЗ неизвестной неравенства на промежутки позволяет упростить некоторые неравенства. Решение неравенства рассматривают отдельно на каждом промежутке.
Предложим еще один способ решения примеров 7 и 10.
Пример 11. (ЕГЭ-2011). Решить неравенство
.
Решение. Выше уже было установлено, что обе части неравенства определены при 
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть 
. Тогда
,
.
В этом случае неравенство примет следующий вид:
. 
.
2. Пусть 
. Тогда
,
.
В этом случае неравенство примет следующий вид:
.
Учитывая, что , имеем 
.
Объединяя найденные решения, получаем значения 
.
Ответ: 
.
Пример 12 (ЕГЭ 2011). Решить неравенство
Решение. Неравенство определено при условиях
то есть при всех значениях 
.
Приведем данное неравенство к виду
и рассмотрим три случая.
Если значения 
, то 
. Тогда получаем неравенство 
или 
с решениями 
для рассматриваемого случая.
Рассмотрим значения 
, тогда 
. Имеем неравенство 
или 
, с решениями 
.
Пусть значения 
. При от логарифмического неравенства придем к неравенству 
или 
не имеющих решений на рассматриваемом промежутке. В итоге получаем решение данного неравенства: 
.
Замечание. Еще один вариант рассмотрения решения данного неравенства при разбиении области его определения на промежутки – заменить данное неравенство следующей равносильной совокупностью систем:
и
Ответ: .
Пример 13 (ЕГЭ 2010). Решить неравенство
.
Решение. Значения 
, при которых определены обе части неравенства, задаются условиями
.
Для таких преобразуем левую часть исходного неравенства
.
Получаем
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть 
. Тогда 
, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству 
.
Отсюда 
. Получаем на рассматриваемом промежутке .
2. Пусть 
. Тогда 
, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству 
.
Отсюда 
. Получаем на рассматриваемом промежутке .
Объединяя полученные решения, имеем значения 
.
Ответ: 
.
Метод замены
Логарифмическое неравенство может быть упрощено и сведено к простейшему логарифмическому использованием надлежащей замены. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 14. (МИОО,апрель 2011).Решить неравенство
.
Решение. Запишем неравенство в следующей форме:
.
Пусть 
. Тогда неравенство примет вид
.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
Рассмотрим систему ( 
). Решим первое неравенство этой системы.
Отсюда получаем 
. С учетом второго неравенства системы (I) 
или 
, получаем решение (I) .
Рассмотрим систему (II). Решим ее первое неравенство.
Отсюда 
. С учетом второго неравенства системы (II) 
или 
, получаем решение (II) .
Объединяя решения (I) и (II), получим решение исходного неравенства 
Выполняя обратную замену, имеем
Отсюда получаем 
.
Ответ: 
.
Пример 15. (ЕГЭ 2010).Решить неравенство
.
Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:
Сделаем замену 
. Так как неравенство 
выполняется при всех , то по свойству степени с основанием больше единицы получаем 
. Отсюда 
. С учетом последнего неравенства, запишем полученную выше систему
.
Исходное неравенство с переменной 
будет иметь вид
,где 
.
Используя свойство логарифма (при допустимых значениях переменной сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения), получим
,
так как 
и 
при 
. Решим последнее неравенство:
.
С учетом ограничения на получаем . Выполнив обратную замену, имеем 
. Отсюда
.
Ответ: 
.
Пример 16. (МИОО, 2011).Решите неравенство
.
Решение. Так как
и в соответствии с определение логарифма 
, 
то данное неравенство равносильно неравенству
.
Пусть 
. Тогда получаем 
, т.е. 
. Решение последнего неравенства есть множество 
.
Выполняя обратную замену, получаем
Решим уравнение совокупности:
.
Решим неравенство совокупности:
.
В последнем неравенстве при 
, т.е. 
, получаем 
, что неверно, так как в этом случае и 
.
При 
, т.е. при 
, получаем 
, что также невозможно, так как 
и в этом случае произведение .
Ответ: 
.
Пример 17. (МИОО,апрель 2011).Решить неравенство
.
Решение. Область определения данного неравенства задается условием 
. Отсюда, логарифмируя по основанию 2 обе части неравенства 
, получаем 
.
Преобразуем левую часть исходного неравенства:
.
Получаем
.
Деля в последнем неравенстве на 
, получим 
.
Пусть 
, где 
. Тогда, решая квадратичное неравенство 
, получим 
. Выполняя обратную замену, отсюда получаем 
, т.е. 
.
Учитывая условие , запишем ответ: 
.
Ответ: 
.