Метод рационализации неравенств
Отметим, что нестандартность этого метода заключается в том, что его изучение не входит в школьную программу, и он отсутствует в учебниках для общеобразовательной школы. Часть подобных неравенств могла быть решена сведением к совокупности двух систем.
При решении логарифмических неравенств метод рационализации опирается на следующее утверждение.
Утверждение 1.Знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
, где 
, 
.
В частности, знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
, а знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
.
Доказательствопроведем в два этапа.
1. Пусть 
т.е. 
причем
. ( 
)
Если число 
то по свойству убывающей логарифмической функции имеем 
. Значит, выполняется система неравенств
откуда следует неравенство 
верное на области определения выражения 
Если число 
то 
. Следовательно, имеет место неравенство
Обратно, если выполняется неравенство 
на области ( ), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств
и 
Из каждой системы следует неравенство
т.е. 
Аналогично, рассматриваются неравенства вида 
2.Пусть некоторое число 
и 
тогда имеем
.
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
или
Пример 19. (ЕГЭ 2011). Решить неравенство 
Решение. 1-й способ. Область определения неравенства задается системой
Отсюда получаем, что данное неравенство определено при всех значениях 
.
Используем рационализацию последнего неравенства
.
Отсюда решения 
. Учитывая ОДЗ, находим окончательно 
.
Решение. 2-й способ. Множество 
– область определения данного неравенства.
Приведем данное неравенство к виду
или
.
Так как знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
([1], стр. 22), то получим
.
Последнее неравенство имеет решения 
. С учетом ОДЗ получим .
Ответ: .
Пример 20.Решить неравенство
.
Решение. Область определения неравенства задается системой
или 
Учитывая, что при 
выражение 
положительно, преобразуем данное неравенство на его области определения
.
Для решения последнего неравенства используем метод рационализации:
.
Ответ. 
.
Используем метод рационализации еще к одному виду логарифмических неравенств ([1], стр. 22).
Утверждение 2.Знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
, где 
, 
.
Доказательство. Так как
то, используя рационализацию неравенств, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
или
.
Решим выше рассмотренный пример 6.
Пример 21.Решить неравенство
.
Решение.Данноенеравенство приведем к следующему виду
,
которое равносильно системе неравенств
.
Ответ: 
.
Метод оценки
Иногда неравенство 
устроено так, что на всей ОДЗ неизвестной имеют место неравенства 
и 
при некотором А. В этом случае:
а) решение неравенства 
сводится к нахождению тех значений 
, для которых одновременно 
и 
;
б) решение неравенства 
сводится к нахождению тех решений неравенства , для которых определена функция 
.