Характеристические функции биноминального, пуассоновского и нормального распределений вероятности.
Биномиальное распределение— распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в Теории массового обслуживания.
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса
№29 Композиционая устойчивость
Опр.: Пусть X1 и Х2 распределены по одному и тому же закону (возможно с разными параметрами) и независимы. Если при этом Х1+Х2 распределена по тому же закону, то говорят, что данный закон композиционно устойчив.
П1: 
, 
и Х1,Х2 независимы
• 
, 
. Т.к. Х1 и Х2 независимы: 
=> 
•
Т.е. при фиксированном значении p з-н B(n,p) композиционно устойчив.
П2: 
, 
• 
, 
. Т.к. Х1 и Х2 независимы: 
=> 
•
П3: 
, 
и Х1,Х2 независимы
• 
, 
=> 
•
№30 Ковариация двух случайных величин:
Опр: Ковариацией Х и Y называется число (если 
):
сov[X,Y] = M[(X-M[X])(Y-M[Y])]= M[Ẋ,Ẏ].
Св-ва:
1) сov[X,Y] = сov[Y,X]
2) сov[X,X] = D[X]
3) сov[X,Y1+Y2] = сov[X,Y1] + сov[X,Y2]
4) сov[C*X,Y]= C* сov[X,Y]
5) D[X+Y]=D[X] + D[Y] + 2 сov[X,Y]
6) |сov[X,Y]| ≤ 
• 0≤ D[tX+Y] = t^2*D[X] + D[Y] + 2t*cov[X,Y]
= 4 (сov[X,Y])^2 – 4* D[X]*D[Y] => |сov[X,Y]| ≤ 
•
№31 Коэффициент корреляциии.
Опр: Коэффициентом корреляции называется число:
Св-ва:
1) 
2) Если X и Y независимы => 
(обратное неверно)
•cov[X,Y]=M[XY] – M[X]M[Y] = |тк Х и Y независимы|= M[X]M[Y] – M[X]M[Y] =0 => 
•
3) Если Y=aX+b, то 
• Пусть M[X] = m , D[X]= 
тогда M[Y] = am+b , D[Y]= 
cov[X,Y] = M[(X-m)(ax+b – (am+b))] = a* M[(X-m)^2] = 
•
Замеч: Если X и Y независимы, то 
. Если Х и Y лин. зависимы 
. Поэтому 
используется в качестве меры линейной зависимости Х и Y. Если 
– зависимость слабая. Если 
- зависимость сильная. Если 
- то при росте одной случайной величины, другая в среднем растет.
№32 Распределения 
Опр: Пусть Xi – независимые случайные величины, 
. Тогда случайная величина 
имеет распределение 
( «хи-квадрат») с n степенями свободы - 
Св-ва:
1) M[Y]=n ; D[Y]=2n
2) Рисуем графики (оси: f 
(x) и ось «х»)...n2>n1 хотя n2 более пологий и лежит ниже n1
Опр: Пусть случ. величины 
и независимы. Тогда случ. величина Y распределена по закону Стьюдента: 
с n степенями свободы. 
.
1) Рисуем графики (оси: St 
(x) и ось «х»)...n1>n2 - n2 более пологий и лежит ниже n1
2) При 
St(0,1) приближается к N(0,1)
Опр: Пусть 
и 
- независимые случайные величины. Тогда 
распределена по закону Фишера со степенями свободы n1 и n2
Св-во: Пусть Fn1,n2,p – квантиль распределения F(n1,n2) порядка p, тогда Fn1,n2,(1-p) = 1/ Fn1,n2,p
№33 Неравенства Чебышева
Теорема 1 ( 1ое неравенство Чебышева) :
Пусть Х – случайная величина, 
. Тогда 
• Рассмотрим случайную величину 
Очевидно, 
или 
;
•
Теорема 2 (2ое неравенство Чебышева):
Пусть Х-случайная величина, 
, 
. Тогда 
• Рассмотрим непр. Х:
•
№34 Закон больших чисел(теорема Маркова):
Опр: Говорят, что последовательность случ. величин 
сходится по вероятности к числу a ( 
), если 
( или 
)
Теорема Маркова:
Пусть последовательность случ величин 
удовлетворяет условиям: 
и 
. Тогда 
, т.е. 
.
•Обозначим 
, 
, 
. Применяем второе неравенство Чебышева:
•
№35 Следствия из закона больших чисел
1) Теорема Чебышева
Пусть – последовательность независимых или попарно некоррелированных случ. величин(*).: и . Тогда Тогда
2) Пусть 
- последовательность одинаково распр. случ. величин, удовл. условию (*).
, 
. Тогда 
или 
3) Пусть 
, т.е 
- число успехов в серии n испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда 
, т.е 
• 
| Xk | ||
| p | q | p |
по следствию (2)•
№36 Центральная предельная теорема
Опр: Пусть 
- последовательность случайных величин. Говорят, что случайная величина 
имеет асимптотическое нормальное распределение с параметрами 
при 
, если для 
. 
- функция Лапласа. Обозн: 
.
Теорема:
Пусть последовательность удовлетворяет условиям:
1) - независимы.
2) - одинаково распределены
3) 
, 
Тогда для 
справедливо 
.
Замечания:
1)При достаточно больших n - 
, т.е. сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.
2) Условие (2) не является принципиальным. Если 
, 
, то при некоторых требованиях вместо условия (3) при больших n имеем:
,т.е. и в этом случае сумма достаточно большого числа случайных величин распределена приблизительно нормально.