Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин
| № п/п | Примеры ПП 13 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин |
| ПП 13 №24 |  Площадь поверхности сферы равна  . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?
Обозначим высоту цилиндра  ,  . По условию  ,  .
Из  :  . Объем цилиндра  . По смыслу задачи  , т.е.  . Исследуем функцию  на этом интервале. Производная  при  , вблизи этого значения  меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.
|
| ПП 13 №25 | Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене  руб., то его годовая прибыль  составит  руб. Определите  , при котором прибыль будет максимальной.
 при  , при этой цене прибыль будет максимальной.
|
| пп 13. I. исследование функций | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| № п/п | ЗАДАЧИ | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №1 | Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции  .
РЕШЕНИЕ:
Функция  не определена при  .
 ,  при  .
Функция | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №2 | Найдите экстремумы функции  .
 ,  ,  .
Вид графика функции
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №3 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы.
 РЕШЕНИЕ:
Функция  определена для  . Производная функции 
обращается в ноль при  и  ,  при  ,  при  , то есть в точке  функция принимает минимальное значение.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №4 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы.
РЕШЕНИЕ:
Производная функции   .
 при  ,
второй множитель положителен при любых  .
Знак производной совпадает со знаком  :
при    функция убывает; при   функция возрастает,
в точках  достигается максимальное  ,
а в точках  – минимальное  значения функции  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №5 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы.
РЕШЕНИЕ:
Производная функции представляет собой многочлен, который мы преобразуем следующим образом:
 , откуда видно, что при любых  , значит, функция возрастает для всех  и экстремумов не имеет.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №6 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
РЕШЕНИЕ:
1)  ,  - точка пересечения с осями.
2) f (x) – непрерывна всюду  вертикальных асимптот нет.
 - наклонная (горизонтальная) асимптота при   наклонных асимптот при  нет.
3)  ,  .
4)   ,   .
Вид графика функции |
возрастает при 
; убывает при 
; 
– точка минимума.
.
.
| ПП13.I №7 | Сколько раз график функции  пересекает ось  ?
РЕШЕНИЕ:
Функция определена для всех  ,
не обладает определенной четностью,
непериодическая.
 ;  при  и  .
График функции  пересекает ось  в одной точке  .
Построим схему.
| |||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №8 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
РЕШЕНИЕ:
1) Область определения функции:  ; эти точки являются точками разрыва функции; при  функция  ; при  ,  .
 2) Функция нечетная:  . Построим график для  и отобразим его нечетным образом относительно начала координат.
3) Точка пересечения с осью определяется условием
 ,  ,  для всех  из области определения, т.е. функция является убывающей и не имеет экстремумов.
|
| ПП13.I №9 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
РЕШЕНИЕ:
1) Функция определена всюду, кроме точки  .
График функции имеет вертикальную асимптоту  .
2) Точка пересечения с осями:  .
3) Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:
 ;
 является наклонной асимптотой.
4) Находим производную:  . Знак производной определяется знаком дроби  или произведения  .
При  и   , а при   . Интервалы возрастания:  и  ; интервал убывания:  . В области определения функции производная существует всюду и обращается в ноль при  и  . При , а при  . Следовательно, точка является точкой максимума. Находим значение функции при :  При переходе через другую критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума.
5) Находим вторую производную  . Видим, что  при  , интервал  является областью выпуклости. также при  - это тоже область выпуклости;  при  - это область вогнутости.
В области определения функции  существует всюду;  при . Так как при переходе через эту точку меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим 
График | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №10 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
РЕШЕНИЕ:
1). Функция определена всюду, кроме точек  . Точки пересечения графика с координатными осями:    - точка пересечения с осями.
2). Функция нечетная,  , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при  .
3). Точка  является точкой разрыва II-рода, график функции имеет вертикальную асимптоту ,  ,  . Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:  ;  , т.е.,  является правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя).
4). Находим производную:  . Знак производной определяется знаком  . При  , а при  и  . Интервал возрастания -  ; интервалы убывания -  и  . В области определения функции производная обращается в нуль при и  . При  , а при . Следовательно, точка является точкой минимума. Находим значение функции при :  . При переходе через критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума.
5). Находим вторую производную  . Видим, что при , на интервале  график функции выпуклый вверх. При - график функции выпуклый вниз.
В области определения функции существует всюду; при . Так как при переходе через эту точку  меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим
График
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №11 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
РЕШЕНИЕ:
1). Так как функция периодична с основным периодом  , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на  . Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью определения сложной функции  будут промежутки оси  , на которых  , т.е., для промежутка это будет  . Для  , область значений  . Точки пересечения графика с координатными осями: при  котангенс не определен, точек пересечения с осью  нет. Точки пересечения с осью находим, решая уравнение   .
2). Четностью или нечетностью функция не обладает.
3). Точка не является точкой разрыва, так как  не определена,  . Поскольку на каждом периоде график  лежит в конечной области плоскости  , асимптот у графика существовать не может.
4). Найдем производную:  . Для   ,  , т.е., на каждом отдельном промежутке области определения функция монотонно убывает.
5).  Найдем вторую производную  . Корень уравнения  на -  . При  график функции выпуклый вниз, при  - график функции выпуклый вверх. Точка графика  - точка перегиба.
График имеет вид
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ПП13.I №12 | Постройте график функции  .
Область определения функции:  , это точка бесконечного разрыва функции,  для всех  ;  при  ;
 при  .
 Построим схему.
|
имеет вид:
