Определители и системы линейных уравнений.

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными

Применяя к системе метод уравнивания коэффициентов, получим:

.

Предположим, что . Тогда

.

Общий знаменатель значений и называется определителем системы уравнений, в данном случае число называется определителем второго порядка и обозначается или

Пример:

Введение определителей второго порядка не вносит существенных упрощений в решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными, и без этого не представляющее никаких затруднений. Аналогичные методы для случая системы трех линейных уравнений с тремя переменными оказываются ужу практически полезными. Пусть дана система линейных уравнений с тремя переменными:

тогда определителем третьего порядка будет выражение: (для его записи употребляется такая же символика, как и в случае определителей второго порядка), таким образом

Пример:

30 + 2 - 24- 12 + 20 – 6 = 10

Решение систем линейных уравнений методом Крамера:

система имеет единственное решение при условии, что определитель системы не равен нулю.

Решение системы находится по формулам:

; ; . Где

.

Пример: 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Вычислим главный определитель:

следовательно система не имеет решений.

Пример: 2.

Решение:

;

;

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса:

Постепенным исключением переменных находим

Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, вычтем из второго уравнения первое, а к третьему уравнению прибавим первое умноженное на (-3). Получим:

Оставим второе уравнение неизменным, исключив уиз третьего, умножив второе уравнение на (-1) и сложив с третьем уравнением получим.

Функция и пределы

Функция –зависимость, между двумя множествами Х и У, при котором одному элементу из множества Х поставлено в соответствие не более одного элемента из множества У.

Переменная у называется функцией переменной х.

Символически функциональная зависимость записывается с помощью равенства: . Множество всех действительных значений х, при которых функция существует называется областью определения функции.

Обозначается:

Пример: найти область определения функции:

Решение. Функция определена при всех значениях переменной х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корни. Следовательно, функция определена на всей числовой прямой, кроме точек .

Множество всех действительных значений у, которые может принимать функция называется множеством значений функции.

Обозначается:

Зависимость между аргументом x и функцией можно представить в виде некоторой линии.

Определение: графиком функции

называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству .

Функция называется чётной,если перемена знака у аргумента не меняет значение функции, т. е.

График четной функции – кривая симметричная относительно оси ординат.

Функция называется нечётной ,если перемена знака у аргумента изменяет только знак самой функции, т. е.

График нечетной функции – кривая симметричная относительно начала координат.

Понятие предела переменной величины - одно из важнейших понятий математики.

§ Число называется пределом функции

при , если для любой последовательности аргументов

сходящихся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Предел функции обозначается символом:

Функция называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю