Приложения опредеделенного интеграла. Площадь плоской фигуры.
Найдем площадь S криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y=ƒ (x), осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где a≤x≤b, ƒ (x)≥0 , S – площадь прямоугольника с основанием dx и высотой ƒ (x), т.е. dS= ƒ (x) dx Интегрируя это равенство в пределаот a до b, получим
Если криволинейная трапеция ограниченная кривой y= ƒ(x), осью
Ox и прямыми x=a и x=b, лежит под осью Ox, то
Если фигура, ограниченная кривой ƒ(y), осью Ox и прямыми
x=a и x= b, расположена по обе стороны от оси Ox, то
Фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми
и и прямыми x=a и x=b, где a≤x≤b и
Площадь вычисляется по формуле
Примеры.
1. 
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой и прямыми х=2 и х=3 и осью Ox. По формуле
Находим:
2. 
y=sinx, y=0 и
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох.
3. у=-6х, у=0 и х=4.
Фигура расположена под осью Ох. Следовательно, ее
площадь находим по формуле
4. 
и у=2х.
Данная фигура ограничена параболой и
прямой у=2х. Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений :
откуда находим
Используя для нахождения площади формулу
получим
5. 
Фигура, ограничена линиями и
Найдем точки пересечения данных парабол, выразим из каждого уравнения переменную уи решим систему уравнений:
откуда
Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем
половину ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и
результат удвоим:
Комплексные числа.
Комплексными числами называются числа вида 
, где 
- действительные числа. Число 
, определяемое равенством 
, называется мнимой единицей.
Запись комплексного числа в виде 
называется алгебраической формой комплексного числа.
При 
комплексное число обращается в чисто мнимое число 
.
Комплексное число 
называется комплексно сопряженным с числом и обозначается 
.
Комплексные числа , и 
, называются противоположными.
Модулем комплексного числа называется число 
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме:
Сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: 
Деление:
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Например.Представить комплексное число 
в тригонометрической форме.
Решение: здесь 
, найдем 
, 
точка с координатами 
находится в 4 четверти координатной плоскости, 
, следовательно 
, данное число в тригонометрической форме будет иметь вид:
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Муавра.
Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа:
Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной:
Пример.
Представить число 
в тригонометрической и показательной форме.
Решение. 
, b=-1, r= 
, 
И следовательно 
=2 
;
В показательной форме: 