Комплексне число як вектор
Модуль к.ч.
Модулем числа 
називається невід’ємне число 
.
Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо 
, то 
.
Приклади.
1) 
.
2) 
3) 
.
4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.
Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел
4.6. Додавання і віднімання к.ч.
Приклади
1. 
.
2. 
.
Обчислити самостійно
1. 
2.
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
Відповіді. 1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
. 5. 
. 6. 
. 7. 
.
8. 
. 9. 
. 10. 
.
Множення к.ч.
Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що 
):
Приклади.
.
Правильна тотожність 
Дійсно,
Спростити самостійно
1. 
2.
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Відповіді. 1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
. 5. 
.
6. 
. 7. 
.
4.8. Ділення к.ч.
Ділення к.ч. виконується згідно правила ( при умові 
):
Приклади.
1) 
2) 
3) Розв’язати рівняння 
Розв’язання. 
Відповідь: 
.
Перевірка: 
Спростити самостійно вирази
1.
2. 
3. 
.
Відповіді. 1. 
. 2. 
. 3. 
.
Комплексне число як точка площини
У вибраній прямокутній системі координат число 
зображається точкою 
(рис.1.1). Навпаки, якщо задана точка , то їй співставляється к.ч. . Таким чином, між множиною к.ч. і множиною точок площини (з заданою прямокутною системою координат) встановлюється взаємно однозначна відповідність.
Рис.1.1.
Очевидно, що дійсні числа зображуються точками на осі 
, а чисто уявні - на осі 
; з цієї причини називають дійсною, а – уявною віссю; площину 
називають комплексною площиною , а к.ч. - точками цієї площини.
Приклади. Знайти множину к.ч., що задовольняють умову:
;
.
Розв’язання.
1) Нехай . Умову перепишемо в рівносильній формі: 
Відповідь: множина чисел 
пряма 
2) Якщо , то, 
, отже , 
Відповідь: множина чисел 
- півплощина, що розміщена нижче прямої 
.
Побудувати на площині ХОУ к.ч., записати їх дійсну та уявну частину. Обчислити модулі к.ч.
1. 
. 2.
. 3.
Відповіді. 1. 
2. 
.
3. 
.
4.10. Коло, круг, кільце
Нехай дано числа 
Рівнянню 
задовольняють всі числа ( і тільки вони), що розміщені на колі радіуса 
з центром у точці 
. Дійсно, якщо , то 
.
Очевидно, що нерівності 
і 
задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце 
з центром у точці 
.
Звернемо увагу на вироджені випадки кільця :
(1) 
– круг з виключеним центром 
;
(2) 
– зовнішність круга 
– круг з границею;
(3) 
– вся площина з виключеною точкою ;
(4) при 
маємо пусту множину.
Рис. 1.2
Приклад. З’ясувати, чи належить точка 
p до круга 
.
Розв’язання. Порівняємо радіус 
з відстанню 
від центра круга 
до точки p :
.
Відповідь: точка p розміщена поза кругом .
Комплексне число як вектор
Кожному к.ч. відповідає єдиний радіус-вектор 
, і навпаки, кожному радіусу-вектору відповідає єдине к.ч. ( рис.1.1). Ми будемо зображати к.ч. відповідним йому радіус-вектором 
або довільним направленим відрізком, який при паралельному переносі збігається з . Зрозуміло, що модулі к.ч. і відповідного йому вектора рівні.
Якщо вектор 
зображає к.ч. , то домовимось писати 
.
Нехай 
Розглянемо паралелограм 
, див. рис.1.3.
Рис.1.3
Очевидно, 
, тобто сума і різниця к.ч. відповідають сумі і різниці векторів. Таким чином, додавання і віднімання набуває простого геометричного змісту.
Множення і ділення к.ч.в геометричній формі розглядаються в §1.14.
Приклад. Доведемо нерівність 
, яка є узагальненням нерівності абсолютних величин дійсних чисел.
Використовуємо простий факт: сума довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини третьої сторони. З рис. 1.3 випливає, що 
, тобто 
.
Випадок чисел, розміщених на одній прямій пропонуємо розглянути самостійно.
Приклад.Знайти суму і різницю 
і 
, де 
, 
. Переконатися за допомогою геометричної побудови, що ці вектори можна додавати і віднімати за правилом паралелограма.
Розв’язання. 
.
Виконати самостійно
В умовах попереднього прикладу знайти і , де 1) 
, 
;
2) 
, 
.
4.12. Кут нахилу вектора до осі
Розглянемо довільний ненульовий вектор ( див. рис. 1.4). Величина кута j, утвореного обертанням осі в площині навколо точки 
до суміщення її з напрямком вектора , називається кутом нахилу цього вектора до осі ; при цьому j 
, якщо обертання здійснюється проти годинкової стрілки, і j 
при обертанні за годинковою стрілкою; якщо напрямок збігається з напрямком , то j 
.
Рис. 1.4
Таким чином, кут нахилу задає напрямок вектора. З рис.1.4. випливає , що додатний j+ і від’ємний j- кути визначають один і той же напрямок.
Очевидно також, якщо довільний кут j задає деякий напрямок , то такий же напрямок будуть задавати і кути 
, де 
. Отже, за кут нахилу вектора можна приймати будь-який з кутів , де 
ціле число.
Приклад. Легко перевірити, що кути 1350,4950,-2250,-9450 визначають один і той же напрямок ( відносно осі ).