Tpигонометрична форма к.ч.
Нехай відомі модуль і аргумент
к.ч.
(див рис.1.5). Зауважимо, що
- полярні координати точки
, яка зображає число
(якщо
- полярна вісь).
У випадку розміщення осей і
, вказаному на рис. 1.5, відомі формули переходу від полярних до прямокутних координат точки
. Додамо ці рівності, помноживши другу на
:
Остання форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Як бачимо, щоб знайти тригонометричну форму, досить обчислити модуль і аргумент к.ч.
Приклади. Записати в тригонометричній формі слідуючі числа:
1) 2)
3)
Розв’язання
1)
Відповідь:
2)
Відповідь:
3)
Відповідь: .
Розглянемо алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми к.ч.
Нехай дано к.ч. , на прикладі
. Для переходу до тригонометричної форми необхідно:
1.Побудувати на площині ХОУ к.ч. і встановити, до якої чверті належить
. На даному прикладі:
ІІІ четв. Див. рис.
2.Знаходимо модуль к.ч. за формулою (1)
(1)
На прикладі маємо:
3. За допомогою таблиць або мікрокалькулятора знаходимо , ураховуючи при цьому властивість
.
На прикладі: .
4.За формулою (1.1) § 1.14знаходимо . Для даного прикладу:
ІІІ чверті. Маємо:
5. Підставимо знайдені і
у формулу
(2)
Для маємо:
Приклади для самостійного розв’язання
Представити у тригонометричній формі числа:
1. 2.
3.
4.
Відповіді. 1.
2.
3.
4.
4.16. Множення і ділення к.ч. в тригонометричній формі
Нехай числа записані в тригонометричній формі:
.
Справедливі слідуючі формули:
Таким чином, при множенні ( діленні ) к.ч. їх модулі множаться (діляться ), а аргументи додаються (віднімаються).
З’ясуємо геометричний зміст множення. Нехай (рис 1.8). Очевидно, що
одержано поворотом
на кут
з подальшим розтягом (стиском)
в
разів.
Отже, множення к.ч. зводиться до повороту і розтягу (стиску) векторів.
Подібний зміст має і ділення к.ч.
Рис.1.8
Приклад.Використовуючи тригонометричну форму, обчислити добуток чисел З’ясувати геометричний зміст операції множення цих чисел.
Розв’язання.
З геометричної точки зору були виконані слідуючі перетворення (рис.1.9):
1) поворот вектора на кут
результат повороту;
2) стиск (без зміни напряму) вектора в 2 рази
- результат множення.
Рис.1.9
За допомогою рис.1.9 в даному випадку легко перевірити, що .
Приклади для самостійного розв’язання
1.Дані числа та
. Необхідно:
1) перетворити їх у тригонометричну форму;
2) знайти їх добуток ;
3) частку ;
4) зробити перевірку, виконавши ці дії над і
в алгебраїчній формі.
2.Задовольнити умови прикладу 1, якщо ,
.
Відповіді.
1.1) ,
;
2) ;
3) .
2.1) ,
;
2) ;
3) .
4.17. Формула піднесення к.ч.до цілого степеня n
(Формула Муавра): якщо то
(1.3)
Приклад. Нехай . Обчислити
.
Розв’язання.
Подамо в тригонометричній формі:
застосовуємо формулу (1.3) при
:
Приклади для самостійного розв’язання
Обчислити: 1. 2.
3.
Відповіді. 1. .2.–1. 3.104976.
4.18. Формула добування коренів
Формула добування коренів го степеня з числа
(1.4)
де символ
означає корінь арифметичний з дійсного числа
.
Таким чином, при
має точно
значень.
Приклад. Знайти всі значення .
Розв’язання. Запишемо число 8 в тригонометричній формі:
Застосовуємо формулу (1.4) при
де
Одержуємо три значення кореня:
Відповідь:
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти всі значення коренів: 1. 2.
3.
.
Відповіді. 1. ,де k=0, 1, 2. При k=0:
;
k=1: ;
k=2: .
2.
= , де k=0, 1, 2, 3.
При k=0: ;
k=1: ;
k=2: ;
k=3: .
3. ,
де k=0, 1, 2, 3, 4, 5.
Формула Ейлера
Формула Ейлера має вигляд:
, (1.5)
де будь-яке дійсне число.
Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою ) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через
, але це виправдано тим, що введений таким чином символ
буде володіти властивостями експоненти в дійсній області.
За допомогою формул §§4.14,4.15,4.3 (приклад 3) безпосередньо перевіряються слідуючі властивості:
(
ціле);
.
Приклад. Обчислити .
Розв’язання.
4.20. Експонента ez
Нехай . Покладемо
. Ця рівність є означенням експоненти з будь-яким показником.
Основні властивості:
(
ціле);
Для доведення використовуються властивості експоненти з дійсними і чисто уявними показниками (див.§1.17).
Приклад 1. Знайти .
Розв’язання. Якщо то
Відповідь:
Приклад 2. Обчислити .
Розв’язання.
Приклад 3. Показати, що якщо комплексне число,
то
Розв’язання. Нехай Очевидно, що
Залишилось зауважити, що границя змінної величини дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли границя її модуля дорівнює нулю.
Показникова форма к.ч.
Нехай Якщо число
записати в тригонометричній формі
а потім застосувати формулу Ейлера (1.5), одержимо так звану показникову форму к.ч.
.
Така форма запису чисел дозволяє використовувати властивості експоненти і тому зручна для різних перетворень.
Множення, ділення і піднесення до степеня к.ч.: якщо
то
;
(
ціле).
Приклад 1.Записати у показниковій формі к.ч. .
Розв’язання.Користуємось алгоритмом,який вже викладений у §1.15.
1.Будуємо к.ч. на площині ХОУ і визначаємо чверть, якій воно належить.
З рис. видно, що ІІІ чв.
2.Обчислюємо модуль к.ч.
3.Знаходимо
4.Оскільки ІІІ чв., то за формулою (1.1) §1.14 маємо:
5.За формулою запишемо
.
Перевірка.
Відповідь.
Приклад 2.Використовуючи показникову форму чисел обчислити наближено
(всі обчислення виконувати з чотирма знаками після коми). Для контролю знайти точне значення
, виконуючи обчислення в алгебраїчній формі.
Розв’язання. Знаходимо квадрати модулів і аргументи (в градусах) даних чисел:
Виконуючи дії над числами в показниковій формі, отримаємо
До алгебраїчної форми запису числа переходимо за допомогою формули Ейлера (1.5):
Контроль. Виконаємо дії в алгебраїчній формі:
Приклади для самостійного розв’язання
Перетворити у показникову форму комплексні числа, виконати перевірку:
1. . 2.
. 3.
. 4.
.
Відповіді.
1. . 2.
.
3. . 4.
.