Тема 2. Дифференцирование функции.
1.Найти производную функции 
.
Сначала преобразуем данную функцию: 
2. Найти производную функции 
.
3. Найти производную функции 
4. Найти производную функции 
5. Найти производную функции 
6. Найдите производную третьего порядка функции 
.
Найдём производную первого порядка:
.
Далее производная второго порядка примет вид:
Производная третьего порядка:
Тема 3.Нахождение дифференциала функции
Дифференциаломфункции 
(или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции 
на произвольное приращение аргумента 
:
. (3.1)
Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: 
. Поэтому дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента:
(3.2.)
Дифференциалом второго порядканазывается дифференциал от дифференциала первого порядка:
, (3.3)
т. е. дифференциал второго порядка функции равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.
1. Найдите дифференциалы первого порядка.
а) 
;
;
б) 
;
.
2. Найдите дифференциалы второго порядка.
а) 
;
;
;
;
б) 
;
;
Тема 4.Интегрирование функции.
Функция 
называется первообразной для функции в промежутке 
, если в любой точке этого промежутка ее производная равна :
, . (4.1)
Операция отыскания первообразной функции по заданной ее производной или по дифференциалу 
называется интегрированием.
Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется неопределённым интеграломи обозначается символом 
. Таким образом,
, (4.2)
если 
.
Здесь - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределённого интеграла.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
Таблица 2
Таблица интегралов
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
;
13. 
;
14. 
.
Методы интегрирования функций:
1. Непосредственное интегрирование.Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Если подынтегральная функция не является табличной, то после применения свойств 4 и 5 данный интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
2. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки).Сущность интегрирования способом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл 
, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Для нахождения интеграла заменяем переменную 
новой переменной 
с помощью подстановки 
. Дифференцируя это равенство, получим 
. Подставляя в подынтегральное выражение вместо и 
их значения, выраженные через и 
, имеем 
.
После того как интеграл относительно новой переменной будет найден, с помощью подстановки 
он приводится к переменной .
3. Интегрирование по частям. Если , 
- дифференцируемые функции, то справедлива формула 
.
С помощью этой формулы вычисление интеграла 
сводится к вычислению интеграла 
, если последний окажется проще исходного
Методы интегрирования функции сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному. Необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
Для того чтобы проверить правильно ли найден интеграл, необходимо найти производную от получившейся функции и получить подынтегральное выражение.
При вычислении интегралов часто используется формула 
.
Пример 1.
.
Пример 2.
В этих примерах также можно использовать метод замены переменной.
Интегрирование по частямсостоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и 
, затем, после нахождения 
и , используется формула интегрирования по частям.
Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1. Интегралы вида 
, 
, 
, где 
– многочлен, k – число. Удобно положить 
, а за обозначить все остальные сомножители.
2. Интегралы вида 
, 
, 
, 
, 
. Удобно положить 
, а за обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида 
, 
, где а и b – числа. За можно принять функцию 
.
При нахождении интегралов (а-г) используется непосредственное интегрирование. Интегралы (б-г) также можно найти методом замены переменной. Интеграл (е) находится интегрированием по частям.
1. Найдите интегралы.
1) 
(свойства 4 и 5, формулы 1 и 2);
2) 
(формула сокращённого умножения, свойства 4 и 5, формулы 1 и 2);
3) 
(формула 5);
4) 
(формула 13);
5) 
(свойство 5, формула 14);
6) 
7) 
8) 
9) 
.
Положим 
. Тогда 
т.е. 
Подставляя в формулу, получим
10) 
.
Положим 
. Тогда 
. Подставляя в формулу 
.